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\begin{cabstract}
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本文研究多介质辐射流体力学问题中扩散方程的数值求解. 多介质问题中的扩散系数通常是间断的、各向异性的张量. 本文在任意变形的多面体网格上, 对含有任意各向异性扩散系数的扩散方程构造高效、鲁棒的有限体积格式. 单元中心型格式广泛应用于多介质辐射流体, 本文根据线性精确的思想, 推导一类二阶精度的单元中心型有限体积格式, 探索构造三维扩散格式的新途径. 首先将线性精确的思想用于构造三维多面体网格上的节点插值算法, 这将是首个适用于三维大变形网格的二阶精度节点插值算法, 然后基于节点插值算法将二维九点格式推广至三维.
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本文研究各向异性扩散方程的数值求解. 在多介质辐射流体力学问题中, 扩散系数通常是间断的、各向异性的张量. 本文在任意变形的多面体网格上, 对含有任意各向异性扩散系数的扩散方程构造高效、鲁棒的有限体积格式. 单元中心型格式广泛应用于多介质辐射流体, 本文根据线性精确的思想, 推导一类二阶精度的单元中心型有限体积格式, 探索构造三维扩散格式的新途径. 我们首先基于线性精确准则将二维九点格式推广为三维菱形格式. 菱形格式的名称源于通量近似所采用的菱形模板, 网格面上的法向流表示为面两侧的单元未知量和面上的顶点未知量的组合.
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然后, 我们将顶点未知量视为辅助未知量, 由周围单元中心未知量插值消去.
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我们使用线性精确准则, 构造三维多面体网格上的两种线性精确的顶点插值算法, 第一种顶点插值算法使用多点通量近似结合取极限过程获得, 第二种顶点插值算法使用最小二乘技术结合图搜索算法获得. 两种顶点插值算法在任意多面体网格和任意各向异性扩散张量下都保持线性精确性质.
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本文研究各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式在多孔介质两相流模型的应用. 数学模型包括压力的扩散方程和饱和度的非线性双曲线方程. 这里, 压力的扩散方程是一个含有各向异性间断系数的二阶椭圆方程. 本文在任意非结构网格上, 对含有任意各向异性扩散系数的压力扩散方程, 发展高效、鲁棒的有限体积格式. 单元中心型格式广泛应用于多介质辐射流体, 本文根据线性精确的思想, 推导一类二阶精度的单元中心型有限体积格式, 并将其应用于多孔介质两相流数值模拟. 结合双曲守恒律中广泛使用的二阶单调MUSCL格式求解饱和度方程, 进而形成格式可扩展的两相流模拟器. 此外, 本文的研究成果可推广应用于例如金属铸造等两相驱替的工程问题.
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本文还研究了各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式在多孔介质两相流模型的应用. 数学模型包括压力的扩散方程和饱和度的非线性双曲方程. 这里, 压力的扩散方程是一个含有各向异性间断系数的二阶椭圆方程. 本文在任意非结构网格上, 对含有任意各向异性扩散系数的压力扩散方程, 发展高效、鲁棒的有限体积格式. 单元中心型格式广泛应用于多介质辐射流体, 本文根据线性精确的思想, 推导一类二阶精度的单元中心型有限体积格式, 并将其应用于多孔介质两相流数值模拟. 结合双曲守恒律中广泛使用的二阶单调MUSCL格式求解饱和度方程, 进而形成格式可扩展的两相流模拟器. 此外, 本文的研究成果可推广应用于例如金属铸造等两相驱替的工程问题.
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\ifblind\begin{beabstract}\else\begin{eabstract}\fi
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This paper studies the numerical solution of diffusion equation in multi-material radiation hydrodynamics. Diffusion coefficients of multi-material problems are usually discontinuous and anisotropic tensors. In this paper, we will construct an efficient and robust finite volume scheme for diffusion equations with arbitrary anisotropic diffusion coefficients on arbitrary distorted polyhedral meshes. The cell-centered finite volume scheme is widely used in multi-material radiation fluid. In this paper, a class of cell-centered finite volume schemes with second-order accuracy will be derived based on the idea of linearity-preserving, and a new way to construct three-dimensional diffusion scheme will be explored. Firstly, the idea of linearity-preserving is applied to construct the vertex interpolation algorithm on 3D polyhedral meshes, which will be the first second-order accurate vertex interpolation algorithm for 3D large deformation meshes. Then, based on the vertex interpolation algorithm, the 2D nine point scheme is extended to 3D.
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This paper studies the numerical solution for anisotropic diffusion equations. In multi-material radiative hydrodynamics problems, the diffusion coefficient is usually a discontinuous and anisotropic tensor. In this paper, an efficient and robust finite volume scheme for diffusion equations with arbitrary anisotropic diffusion coefficients is constructed on arbitrarily polyhedral meshes. The cell-centered scheme is widely used in multi-material radiative hydrodynamics. Based on the idea of linearity-preserving, a class of second-order accurate cell-centered finite volume schemes is derived in this paper, exploring a new approach to constructing three-dimensional diffusion schemes. We first extend the two-dimensional nine-point scheme to a three-dimensional diamond scheme based on the linearity-preserving criterion. The name of the diamond scheme comes from the diamond-shaped stencil used in the flux approximation, and the normal flux on the mesh face is expressed as a combination of the cell unknowns on both sides of the face and the vertex unknowns on the face. Then, we treat the vertex unknowns as auxiliary unknowns and eliminate them by interpolating from the surrounding cell-centered unknowns. We use the linearity-preserving criterion to construct two linearity-preserving vertex interpolation algorithms on three-dimensional polyhedral meshes. The first vertex interpolation algorithm is obtained by combining multi-point flux approximation with a limiting process, and the second vertex interpolation algorithm is obtained by combining least squares techniques with graph search algorithms. Both vertex interpolation algorithms maintain linearity-preserving on arbitrary polyhedral meshes and for arbitrary anisotropic diffusion tensors.
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In this paper, we investigate the application of the cell-centered finite volume scheme for the anisotropic diffusion equation in the two-phase flow model in porous media. The mathematical model comprises a diffusion equation for the pressure and a nonlinear hyperbolic equation for the saturation. Here, the diffusion equation for the pressure is a second-order elliptic equation with an anisotropic and eventually discontinuous diffusion coefficient. We develop efficient and robust finite volume schemes for diffusion equations with arbitrary anisotropic coefficients on arbitrary unstructured grids. In this paper, based on the idea of Linearity-preserving, a family of second-order cell-centered finite volume scheme will be derived and applied to the numerical simulation of two-phase flow in porous media. The saturation equation is solved using the second-order monotone MUSCL schemes which were widely used in hyperbolic conservation law, and then a two-phase flow simulator with Extensible scheme is formed. In addition, the research results of this paper can be applied to the engineering problems of two-phase displacement such as metal casting.
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In this paper, we investigate the application of the cell-centered finite volume scheme for the anisotropic diffusion equation in the two-phase flow model in porous media. The mathematical model comprises a diffusion equation for the pressure and a nonlinear hyperbolic equation for the saturation. Here, the diffusion equation for the pressure is a second-order elliptic equation with an anisotropic and eventually discontinuous diffusion coefficient. We develop efficient and robust finite volume schemes for diffusion equations with arbitrary anisotropic coefficients on arbitrary unstructured grids. In this paper, based on the idea of linearity-preserving, a family of second-order cell-centered finite volume scheme will be derived and applied to the numerical simulation of two-phase flow in porous media. The saturation equation is solved using the second-order monotone MUSCL schemes which were widely used in hyperbolic conservation law, and then a two-phase flow simulator with extensible scheme is formed. In addition, the research results of this paper can be applied to the engineering problems of two-phase displacement such as metal casting.
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% Copyright (c) 2014,2016 Casper Ti. Vector
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\chapter{发表文章目录}
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\item[{[1]}] Longshan Luo, Cheng Dong, A linearity-preserving diamond scheme with extended least square interpolation for the heterogeneous and anisotropic diffusion problems on polyhedral meshes [J]. Comput Math Appl, 2023, 144: 182-197.
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\chapter{致谢}
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% \pkuthssffaq % 中文测试文字。
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值此论文完成之际,
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谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学、朋友和家人表示衷心的感谢!
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六年的博士生涯即将结束, 心中满怀感激.
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首先, 我要特别感谢我的第一任导师邬吉明研究员.
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本论文的大部分研究工作是在邬老师的悉心指导下完成的.
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在我入学前五年的博士学习过程中,
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从论文的选题、文献调研、开题到具体研究工作的开展,
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每一个环节都得到邬老师的耐心指导和无私帮助.
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邬老师严谨的治学态度, 深厚的专业功底,
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准确把握学术前沿的能力以及认真勤奋的工作作风,
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将使我在今后的科研工作中受益匪浅.
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每当我遇到难题时, 邬老师总能抽出时间和我讨论, 并提出一些宝贵的建议,
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使得我的工作能够顺利进行.
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邬老师不仅为我提供良好的学习条件,
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而且在生活上也给予了我极大的关心和帮助.
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他教给我为人处事的道理以及对我无微不至的关怀令我难以忘怀,
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在此,
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谨向邬老师致以深深地谢意和崇高的敬意!
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感谢我的第二任导师高志明研究员.
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高老师在我博士生涯最后一年对我的鼓励和指导,
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使我更加明确了研究方向, 提升了我的思维与研究能力.
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高老师对我研究工作细致入微的关注,
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让我受益匪浅,
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高老师对学术的热忱也激励着我不断追求卓越.
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作者感谢在论文完成期间和工作的几年里,
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软件中心刘青凯、徐小文等领导的大力支持、关心和爱护;
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感谢研究生院的领导、老师和人教处的郁晓瑾、郝思媛老师;
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对于在论文完成和评阅过程中,
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给予指导和提出宝贵意见的所有专家和老师, 也一并表示感谢.
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最后, 我要特别感谢爱人郑骢在我读博士期间的理解、支持、帮助,
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感谢我的家人一直以来给予的支持和鼓励.
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\chapter{绪论}
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\section{研究背景}
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各向异性扩散问题在众多科学领域均有广泛应用, 例如辐射流体动力学(RHD), 磁流体动力学(MHD), 油藏模拟以及等离子体物理学.
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各向异性扩散问题在众多科学领域均有广泛应用, 例如辐射流体动力学(Radiation Hydrodynamics, RHD), 磁流体动力学(Magneto-Hydrodynamics, MHD), 油藏模拟以及等离子体物理学.
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在这些应用领域中, 扩散方程通常与其他复杂的物理模型耦合求解\parencite{Yuan2009}, 这使得设计扩散方程的数值方法颇具难度.
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例如, 在用于油藏模拟的多孔介质模型中\parencite{Bear2013}, 扩散系数代表介质的渗透率, 通常是一个各向异性、非均匀不连续的张量.
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多孔介质中的两相流模型在油藏工程中起着至关重要的作用, 例如, 在二次采油中, 注入水以从油藏中驱油.
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在某些简化假设下, 描述石油储层中流体流动的数学模型包括压力的扩散方程和饱和度的非线性双曲线方程.
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在某些简化假设下, 描述石油储层中流体流动的数学模型包括压力的扩散方程和饱和度的非线性双曲方程.
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其中, 压力的扩散方程是一个含有各向异性间断系数的二阶椭圆方程\parencite{Chen2006}.
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在这样的应用背景下, 压力扩散方程与其他物理模型耦合形成多物理过程.
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另一个例子是在多介质拉格朗日辐射流体动力学的数值模拟中,
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多介质辐射流体力学中的扩散方程描述辐射在空间的传输过程\parencite{Lindl1995},
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辐射扩散系数是温度和密度的强非线性函数.
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在激波两侧, 密度是不连续的, 因此扩散系数具有很强的不连续性.
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此外, 网格随流体移动, 会发生变形. 扩散过程与流体过程耦合, 因此直接使用变形网格计算扩散方程.
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在这种情况下, 求解扩散方程的数值解需要仔细考虑离散格式可能引入的误差(参考参数锁定现象的相关文章\parencite{Babuska1992,Manzini2007}).
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在激波两侧, 密度是不连续的, 因此扩散系数具有很强的间断.
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此外, 网格随流体移动, 会发生变形. 扩散过程与流体过程耦合, 直接使用变形网格求解扩散方程.
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在这种情况下, 数值求解扩散方程需要仔细考虑离散格式可能引入的误差(参见参数锁定现象的相关文章\parencite{Babuska1992,Manzini2007}).
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离散格式的设计应当基于实际应用和物理背景所激发的需求.
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离散格式的设计应当基于实际应用和物理背景的需求.
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理想的格式应尽可能多地具备优良特性,
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比如经典的稳定性、局部守恒性、仅包含单元中心未知数的局部模板、简单性、鲁棒性、单调性、对称正定线性系统、允许任意扩散张量和网格等等.
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比如经典的稳定性、局部守恒性、仅包含单元中心未知量的局部模板、简单性、鲁棒性、单调性、对称正定线性系统、允许任意扩散张量和网格等等.
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然而, 据我们所知, 不存在一种格式能够满足上述所有特性.
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在我们看来, 精度、鲁棒性、单调性以及允许任意扩散张量和网格是其中最为基础的特性.
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在我们看来, 精度、鲁棒性以及允许任意扩散张量和网格是其中最为基础的特性.
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在上述背景下, 为近似求解偏微分方程, 我们选择有限体积(FV)方法.
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长期以来, 有限体积格式在辐射流体动力学的数值模拟程序中得到了广泛应用\parencite{mared2008,TRHD2015}.
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特别是对于守恒律问题, 守恒型有限体积法能够更轻松地获得熵解\parencite{Lax-Wendroff1960,Hou1994}.
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在上述背景下, 为近似求解偏微分方程, 我们选择有限体积(Finite Volume, FV)方法.
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长期以来, 有限体积格式在辐射流体动力学的数值模拟程序中得到了广泛应用\parencite{Ding2008,TRHD2015}.
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特别是对于守恒律问题, 守恒型有限体积法更容易获得熵解\parencite{Lax-Wendroff1960,Hou1994}.
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\item 三维情形计算量大. 扩散方程通常采用隐式求解, 需要求解大规模稀疏线性代数方程组. 例如对于三维结构网格, 如果每个方向剖分1000份, 那么总的网格单元数将达到10亿. 在三维情形, 计算效率和性能成为了一个重要的问题\parencite{FVCA6}.
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\end{itemize}
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纵观以上三方面挑战, 辐射扩散方程的离散的主要问题是精度、健壮性和计算效率.
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从以上三方面挑战可以看出, 各向异性扩散方程的离散的主要问题是精度、健壮性和计算效率.
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我们聚焦于辐射流体力学中的辐射扩散方程数值求解, 精度、健壮性和计算效率是我们研究的出发点.
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在这样的应用背景下, 有限体积方法是一种常用的数值方法.
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有限体积法不但能适用于结构和非结构网格, 而且能保持数值通量的局部守恒性, 即越过每一条网格边的法向流通量是连续的. 当所求的问题中通量起的作用十分重要时, 有限体积法更能显示出它的优越性.
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有限体积法不但能适用于结构和非结构网格, 而且能保持数值通量的局部守恒性, 即越过每一条网格边的法向流是连续的. 当所求的问题中通量起的作用十分重要时, 有限体积法更能显示出它的优越性.
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出于理论和应用需求的驱动, 针对扩散问题的有限体积格式已开展了大量研究工作. 关于近期的发展动态,
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因其每个单元仅有一个自由度, 所以在数值模拟中得到了广泛应用.
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有限体积格式可以保持法向流的局部守恒, 在压力扩散方程中, 扩散系数和压力梯度的乘积在网格面的法向投影称为法向流, 与流体速度在网格面的法向投影成正比, 而速度是两相流数值模拟中的重要物理量, 因此有限体积方法是我们关注的离散方法. 使用有限体积方法求解扩散方程已广泛应用于许多领域. 例如用有限体积方法求解辐射流体中的扩散方程, 需要求解流体、辐射、粒子输运等多个物理过程, 有限体积方法广泛地应用于该领域的数值模拟程序, 例如MARED\parencite{Ding2008}、TRHD\parencite{TRHD2015}以及CHIC\parencite{Breil2011}. 然而在油藏模拟商业软件中, 通常使用基于结构网格的差分格式, 例如CMG\parencite{CMG2019}以及ECLIPSE\parencite{GeoQuest2014}.
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有限体积格式可以保持法向流的局部守恒,
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在油藏模拟问题的压力扩散方程中, 扩散系数和压力梯度的乘积在网格面的法向投影称为法向流, 与流体速度在网格面的法向投影成正比, 而速度是两相流数值模拟中的重要物理量, 因此有限体积方法是我们关注的离散方法. 使用有限体积方法求解扩散方程已广泛应用于许多领域. 例如用有限体积方法求解辐射流体中的扩散方程, 需要求解流体、辐射、粒子输运等多个物理过程, 有限体积方法广泛地应用于该领域的数值模拟程序, 例如MARED\parencite{Ding2008}、TRHD\parencite{TRHD2015}以及CHIC\parencite{Breil2011}. 然而在油藏模拟商业软件中, 通常使用基于结构网格的差分格式, 例如CMG\parencite{CMG2019}以及ECLIPSE\parencite{GeoQuest2014}.
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通常, 在油藏模拟器中, 使用简单的两点通量近似(TPFA)方法来求解压力扩散方程, 并且使用简单的一阶迎风方法来求解饱和度的双曲对流方程\parencite{Ewing1983, Arnold2002, Peaceman1977}. 尽管这种组合策略易于实现并且计算高效, 但它有某些缺点. 一方面, TPFA方法不能适当地模拟复杂几何形状, 这些复杂几何形状是从储层的断层和倾斜的地质建模得到的. 另一方面, 一阶迎风方法引入的数值耗散不仅使得饱和度前沿过度弥散, 也容易产生所谓的网格方向效应(GOE), 也就是数值解对网格线方向的强烈依赖\parencite{Eymard2013, Lamine2010}. 为了解决这些问题, 文献中提出了许多策略, 涉及不同的数值方法组合, 例如袁益让和他的学术团队提出了一些稳定有效的数值方法, 并在胜利油田的实际生产中得到了应用\parencite{Yuan2014, Yuan2019}. 因此, 对各向异性多孔介质两相流模型应用更加鲁棒、更加高分辨的有限体积格式是一个很有意义的课题.
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通常, 在油藏模拟器中, 使用简单的两点通量近似(Two-point flux approximation, TPFA)方法来求解压力扩散方程, 并且使用简单的一阶迎风方法来求解饱和度的双曲对流方程\parencite{Ewing1983, Arnold2002, Peaceman1977}. 尽管这种组合策略易于实现并且计算高效, 但它有某些缺点. 一方面, TPFA方法不能适当地模拟复杂几何形状, 这些复杂几何形状是从储层的断层和倾斜的地质建模得到的. 另一方面, 一阶迎风方法引入的数值耗散不仅使得饱和度前沿过度弥散, 也容易产生所谓的网格方向效应(Grid Orientation Effect, GOE), 也就是数值解对网格线方向的强烈依赖\parencite{Eymard2013, Lamine2010}. 为了解决这些问题, 文献中提出了许多策略, 涉及不同的数值方法组合, 例如袁益让和他的学术团队提出了一些稳定有效的数值方法, 并在胜利油田的实际生产中得到了应用\parencite{Yuan2014, Yuan2019}. 因此, 对各向异性多孔介质两相流模型应用更加鲁棒、更加高分辨的有限体积格式是一个很有意义的课题.
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我们主要研究压力扩散方程有限体积格式, 因此, 精度、鲁棒性、计算效率是我们首要满足的三要素. 基于这三要素, 我们将聚焦于线性精确的单元中心型有限体积格式. 文\parencite{Wu2010}首次提出线性精确(Linearity-preserving)思想, 并用该思想重新推导了广泛应用于辐射流体数值模拟的九点格式\parencite{Li1980}. 线性精确思想作为一种在扭曲网格上构造扩散方程高精度有限体积格式的启示性途径, 要求当问题的精确解是分片线性函数并且扩散系数是分片常数时, 格式中的所有离散步骤精确成立. 许多研究工作证实\parencite{Shashkov1996,Gao2011,Contreras2016}, 线性精确格式对任意各向异性扩散系数以及任意非结构网格均具有二阶精度.
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我们主要研究扩散方程有限体积格式, 因此, 精度、鲁棒性、计算效率是我们首要满足的三要素. 基于这三要素, 我们将聚焦于线性精确的单元中心型有限体积格式. 文\parencite{Wu2010,wjm2005}首次提出线性精确(Linearity-preserving)思想, 并用该思想重新推导了广泛应用于辐射流体数值模拟的九点格式\parencite{Li1980}. 线性精确思想作为一种在扭曲网格上构造扩散方程高精度有限体积格式的启示性途径, 要求当问题的精确解是分片线性函数并且扩散系数是分片常数时, 格式中的所有离散步骤精确成立. 许多研究工作证实\parencite{Shashkov1996,Gao2011,Contreras2016}, 线性精确格式对任意各向异性扩散系数以及任意非结构网格均具有二阶精度.
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在过去的几年里, 线性精确准则已被用作在二维网格上推导一些单元中心格式的重要工具\parencite{Wu2010, Wu2011, Gao2011}.
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在过去的几年里, 线性精确准则已被用作在二维网格上推导一些单元中心格式的重要工具\parencite{Wu2010, Gao2011}.
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这些工作的共同特点是, 定义在单元顶点处的辅助未知量的插值算法在格式的构造中起着重要作用,
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这需要考虑顶点周围的几何拓扑结构, 因此使得将这些格式推广到三维情况成为一项困难的工作.
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2012年, 文\parencite{Wu2012}中提出了一种全新的线性精确格式,
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该格式利用了在单元边上的所谓调和平均点\parencite{Agelas2009}.
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尽管这种格式很容易推广到三维网格, 并且其保极值的对应格式也很容易构造\parencite{Gao2013},
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但新格式在某些单元边上可能不存在调和平均点, 这在一定程度上使其受到了影响.
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文献\parencite{Zhang2020}已证明, 调和平均点可能位于单元面之外, 这会导致不连续和各向异性扩散问题的精度降低. 因此, 在保持线性性和单元中心格式中为辅助未知数寻求简单且稳健的插值算法是一个有趣的问题.
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但新格式在某些单元边上可能不存在调和平均点, 这在一定程度上使这类格式的发展受到了影响.
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文献\parencite{Zhang2020}已证明, 调和平均点可能位于单元面之外, 这会导致间断系数问题和各向异性扩散问题的精度降低. 因此, 在线性精确的单元中心格式中为辅助未知量寻求简单且稳健的插值算法是一个有趣的问题.
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我们面向多孔介质两相流数值模拟, 采用经典的隐式压力显式饱和度法(IMPES)求解该方程组. IMPES方法最初是由Sheldon等\parencite{Sheldon1959}和Stone等\parencite{Stone1961}提出的. 它已广泛应用于求解多孔介质中两相流动的非线性耦合系统\parencite{Chen2004, Chen2019, Kou2010, Silva2016}. 在标准的IMPES方法中, 将饱和度约束条件和达西定律代入各相的两个质量守恒定律并且将所得的方程求和, 就得到压力扩散方程. 对压力方程中除了压力之外的其他变量显式处理, 以消除非线性耦合, 然后隐式求解压力方程. 只要得到压力, 就可以显式更新达西速度和两相的饱和度. 重复这个过程直到模拟结束. 在IMPES算法框架下, 每个时间步的压力扩散方程和饱和度对流方程各自独立求解, 这就允许扩散格式和对流格式进行任意组合. 我们将使用线性精确的单元中心型有限体积格式求解各向异性多孔介质两相流问题中的压力扩散方程, 同时结合双曲守恒律中广泛使用的二阶单调MUSCL格式\parencite{Lamine2010, Xie2017, Contreras2016,Blazek2015}求解饱和度方程, 进而形成格式可扩展的两相流模拟器. 我们将为这类问题的数值模拟提供一些新的离散格式. 同时, 我们的研究成果可推广应用于例如金属铸造等两相驱替的工程问题.
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我们对于多孔介质两相流数值模拟, 采用经典的隐式压力显式饱和度法(IMplicit Pressure Explicit Saturation, IMPES)求解该方程组. IMPES方法最初由Sheldon等\parencite{Sheldon1959}和Stone等\parencite{Stone1961}提出. 它已广泛应用于求解多孔介质中两相流动的非线性耦合系统\parencite{Chen2004, Chen2019, Kou2010, Silva2016}. 在标准的IMPES方法中, 将饱和度归一化条件和达西定律代入各相的两个质量守恒定律并且将所得的方程求和, 就得到压力扩散方程. 对压力方程中除了压力之外的其他变量显式处理, 以消除非线性耦合, 然后隐式求解压力方程. 只要得到压力, 就可以显式更新达西速度和两相的饱和度. 重复这个过程直到模拟结束. 在IMPES算法框架下, 每个时间步的压力扩散方程和饱和度对流方程依次求解, 这就允许扩散格式和对流格式进行任意组合. 我们将使用线性精确的单元中心型有限体积格式求解各向异性多孔介质两相流问题中的压力扩散方程, 同时结合双曲守恒律中广泛使用的二阶单调MUSCL格式\parencite{Lamine2010, Xie2017, Contreras2016,Blazek2015}求解饱和度方程, 进而形成格式可扩展的两相流模拟器. 我们将为这类问题的数值模拟提供一些新的离散格式. 同时, 我们的研究成果可推广应用于例如金属铸造等两相驱替的工程问题.
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综上所述, 在各向异性多孔介质两相流问题背景下, 对含有任意各向异性扩散系数的压力扩散方程, 发展适用于任意非结构网格的线性精确有限体积格式, 具有十分重要的理论意义和应用价值. 这也是开展我们研究的基本立意所在.
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综上所述, 在多介质辐射流体以及各向异性多孔介质两相流问题背景下, 对含有任意各向异性扩散系数的扩散方程, 发展适用于任意非结构网格的线性精确有限体积格式, 具有十分重要的理论意义和应用价值. 这也是开展我们研究的基本立意所在.
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\section{国内外研究现状}
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@ -118,16 +119,16 @@ F. Hermeline在2000年提出一种对偶有限体积法(Discrete Duality FiniteV
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\subsection{单元中心型格式}
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最简单且应用最广泛的有限体积格式是线性两点通量近似(TPFA, 见文献\parencite{Handbook2000}第3章).
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最简单且应用最广泛的有限体积格式是线性两点通量近似(Two-point flux approximation, TPFA, 见文献\parencite{Handbook2000}第3章).
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TPFA方法相当稳健且易于实现, 但在变形网格和全扩散张量的情况下,
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其精度会有显著损失.
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其精度有显著损失.
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为了在具有任意扩散张量的一般网格上获得相容的离散,
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二十世纪九十年代中后期, 挪威学者Aavatsmark等\parencite{Aavatsmark1998}和英国学者Edwards等\parencite{Edwards1998}提出二维多边形网格上的线性多点流近似方法MPFA-O, 并广泛应用于油藏模拟中.
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二十世纪九十年代中后期, 挪威学者Aavatsmark等\parencite{Aavatsmark1998}和英国学者Edwards等\parencite{Edwards1998}提出二维多边形网格上的线性多点流近似方法(Multipoint Flux approximation, MPFA-O), 并广泛应用于油藏模拟中.
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该方法最初用于二维问题, 并且很容易扩展到三维\parencite{Aavatsmark2006}.
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该格式的优点是保持流连续, 只含单元中心未知量, 且有局部的模板, 导出稀疏线性方程组, 可以直接与流体计算耦合, 易于推广至三维情形\parencite{Aavatsmark2002}. 早期的MPFA-O格式的缺点是, 对于强各向异性扩散问题,
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它容易产生非物理振荡, 导致计算精度较低.
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@ -140,27 +141,28 @@ TPFA方法相当稳健且易于实现, 但在变形网格和全扩散张量的
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文献\parencite{Potier2005}提出了一种在三角形网格上的非线性两点通量近似格式,
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文献\parencite{Kapyrin2007}对该方法进行了三维扩展并进行了分析.
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文献\parencite{Danilov2009}的作者提出了一种在多面体网格上的单调的单元中心有限体积格式,
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当扩散张量光滑且施加Dirichlet边界条件时, 该格式无需插值.
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当扩散张量光滑且边界条件为Dirichlet边界条件时, 该格式无需插值.
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文献\parencite{Nikitin2010}将此方法推广到了对流扩散方程. 单调格式通常是非线性的, 这是为此需要付出的代价.
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许多三维单元中心有限体积格式\parencite{Eymard2012,Sun2013,Gao2013,Xie2018,Wang2017}是基于调和平均点\parencite{Agelas2009}推导出的,
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其调和平均点上的辅助未知量可通过面两侧的单元中心未知量进行插值.
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在\parencite{Zhang2020,Gao2013}中表明, 调和平均点可能会偏离相应的单元面, 这可能会导致各向异性和不连续扩散问题的精度损失.
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在\parencite{Zhang2020,Gao2013}中表明, 调和平均点可能会偏离相应的单元面, 这可能会导致各向异性和间断系数扩散问题的精度损失.
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此外, 由于调和平均点还取决于扩散系数, 在求解非线性扩散问题时, 其位置在每次非线性迭代中都会发生变化,
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从而导致相关格式的动态模板.
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本文所关注的是菱形格式, 1980年, 李德元等基于积分插值法提出了任意多边形网格上求解扩散方程的守恒格式\parencite{Li1980}. 将每条网格边上的法向流表示为相邻两个单元中心量以及这条边上的两个节点量的线性组合. 在结构四边形网格上, 该格式包含五个单元中心量和四个节点量, 而节点量用周围四个单元中心量插值消去, 最终得到的格式具有九点模板, 因此人们称之为九点格式\parencite{Sheng2008, Wu2010}. 一些欧洲学者\parencite{Coudiere1999,Bertolazzi2004}也提出类似的格式, 称之为菱形格式(Diamond格式). 最近, 一些巴西学者称之为MPFA-D\parencite{Contreras2016, Ricardo2021}并将该格式应用于油藏模拟.
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该格式在许多研究中得到探讨, 例如\parencite{Sheng2008,Wu2010,Gao2011}.
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本文所关注的是菱形格式, 1980年, 李德元等基于积分插值法提出了任意多边形网格上求解扩散方程的守恒格式\parencite{Li1980}. 将每条网格边上的法向流表示为相邻两个单元中心量以及这条边上的两个节点量的线性组合. 在结构四边形网格上, 该格式包含五个单元中心量和四个节点量, 而节点量用周围四个单元中心量插值消去, 最终得到的格式具有九点模板,
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该格式在许多研究中得到探讨,
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人们称之为九点格式\parencite{Sheng2008,Wu2010,Gao2011}.
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一些欧洲学者\parencite{Coudiere1999,Manzini2007,Bertolazzi2004}也提出类似的格式,
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称之为菱形格式(Diamond格式).
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菱形格式的名称源于通量近似所采用的菱形模板.
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因此, 一些作者也将相关格式称为MPFA-D格式\parencite{Contreras2016,Galindez2020a,Ricardo2021}.
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在其他文献\parencite{Coudiere1999,
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Manzini2007,Bertolazzi2004}中也能找到类似版本.
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最近, 一些巴西学者将相关格式称为MPFA-D格式\parencite{Contreras2016, Galindez2020a, Ricardo2021},
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并将该格式应用于油藏模拟.
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@ -173,20 +175,21 @@ Manzini2007,Bertolazzi2004}中也能找到类似版本.
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顶点插值算法被认为是实现菱形格式最佳精度的关键.
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当网格扭曲程度比较大或者扩散系数出现间断时, 早期的九点格式精度达不到二阶, 原因在于其中的节点量采用简单的算术平均加权, 精度较低.
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为了克服这个问题, 有两种解决途径.
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一种途径是构造避免节点插值的单元中心型格式. 例如骆龙山在2017年\parencite{Luo2017a}使用网格边上的两个点作为辅助未知量, 按照九点格式的推导过程推出一个法向流的表达式, 再结合MPFA-O方法推导网格边上的辅助点插值公式. 为了完全避免辅助量的插值, 美国Los Alamos国家实验室的研究人员\parencite{Lipnikov2009,Lipnikov2010}提出无需插值的单元中心型有限体积格式, 并且将该格式应用于扩散方程和对流扩散方程.
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一种途径是构造避免节点插值的单元中心型格式. 例如骆龙山等\parencite{Luo2017a}使用网格边上的两个点作为辅助未知量, 按照九点格式的推导过程推出一个法向流的表达式, 再结合MPFA-O方法推导网格边上的辅助点插值公式. 为了完全避免辅助量的插值, 美国Los Alamos国家实验室的研究人员\parencite{Lipnikov2009,Lipnikov2010}提出无需插值的单元中心型有限体积格式, 并且将该格式应用于扩散方程和对流扩散方程.
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另一种途径是构造二阶精度的节点插值算法或者称为加权算法. 对于光滑扩散系数问题, 法国学者Coudiere等提出的最小二乘插值算法\parencite{Coudiere1999}十分简洁并且具有二阶精度, 可直接推广至三维情形\parencite{Coudiere2011}, 但是对于间断系数问题, 该方法精度较低. 原因在于最小二乘插值算法没有考虑扩散系数的影响, 它总是假设解的梯度是连续的, 而事实上扩散系数间断处, 解的梯度也是间断的.
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另一种途径是构造二阶精度的节点插值算法或者称为加权算法. 对于光滑扩散系数问题, 法国学者Y. Coudi\`{e}re等提出的最小二乘插值算法\parencite{Coudiere1999}, 该算法十分简洁并且具有二阶精度, 可直接推广至三维情形\parencite{Coudiere2011}, 但是对于间断系数问题, 该方法精度较低. 原因在于最小二乘插值算法没有考虑扩散系数的影响, 它总是假设解的梯度是连续的, 而事实上扩散系数间断处, 解的梯度也是间断的.
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近年来, 一些二阶精度的节点插值算法被提出. 在二维情形, 一些常用的节点插值算法如下. 盛志强等\parencite{Sheng2008}基于泰勒展开构造二阶精度插值算法. 高志明等\parencite{Gao2011}提出两种线性精确的显式节点加权算法, 允许任意形式的扩散张量, 不仅非间断依赖而且非网格拓扑依赖. 其中的第二种算法称为LPEW2, 已被许多学者使用\parencite{TRHD2015,Contreras2016, Yao2012}, 有较高的国际影响力.
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在三维情形, 引入调和平均点的插值算法是许多学者的替代选择, 例如文\parencite{Xie2018,Wang2017,Eymard2012}. 然而文\parencite{Zhang2020}指出, 调和平均点可能落在单元面外部, 导致精度下降, 而且对于非线性系数的扩散问题, 每次迭代都要重新计算调和平均点的位置, 导致格式的模板不固定.
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在三维情形, 构造不依赖调和平均点的插值算法十分困难. 将鲁棒的LPEW2插值算法\parencite{Gao2011}扩展到三维非常困难, 直到最近, 一些巴西学者\parencite{Ricardo2021}使用与LPEW2类似的技术, 推导出四面体网格上具有显式权重的插值算法.
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2017年, 来翔等\parencite{Lai2017}提出四面体网格上的非线性节点加权算法. 2023年, 骆龙山\parencite{Luo2023}提出三维非结构网格中的扩展最小二乘插值算法, 克服了经典最小二乘插值算法在间断系数情形精度下降的问题, 该插值算法对于多种多样的扩散系数都能保持二阶精度.
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2017年, 来翔等\parencite{Lai2017}提出四面体网格上的非线性节点加权算法. 2023年, 骆龙山和董成\parencite{Luo2023}提出三维非结构网格中的扩展最小二乘插值算法, 克服了经典最小二乘插值算法在间断系数情形精度下降的问题, 该插值算法对于多种多样的扩散系数都能保持二阶精度.
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综上, 各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式已有大量研究工作, 基于线性精确思想, 将二维节点插值算法推广至三维, 是研究辐射扩散方程高精度、高置信、高效数值离散的有效手段, 这也是我们研究的出发点.
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综上, 各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式已有大量研究工作, 基于线性精确思想, 将二维节点插值算法推广至三维, 是研究扩散方程高精度、高置信、高效数值离散的有效手段, 这也是我们研究的出发点.
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国外已有许多学者将这类格式应用于油藏模拟, 国内较少使用这类格式求解各向异性多孔介质两相流问题.
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@ -6,6 +6,7 @@
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\section{引言}
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据我们所知, 在三维空间中, 二阶插值公式是最小二乘法, 该方法在二维和三维中已被\parencite{Gao2015}使用.
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数值实验表明, 在各向异性扩散系数存在的情况下, 最小二乘法可能会退化为一阶精度.
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为了处理这种情况或更复杂的扩散情况, 我们通过将一种特殊的极限过程应用于MPFA方法\parencite{Aavatsmark1998, Edwards1998}来构建一个新的插值算法.
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@ -33,7 +34,7 @@ LPEW3对四面体网格上的大部分多种多样的各向异性扩散问题表
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该方法可获得二阶精度, 并且对于扩散系数连续的问题, 它自然退化为经典的最小二乘插值算法.
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我们打算将此算法扩展到三维情况, 这将在本文后面进行讨论.
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在本章中, 我们研究了三维异质各向异性扩散问题的菱形格式.
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在本章中, 我们研究了三维非均匀各向异性扩散问题的菱形格式.
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首先, 在菱形区域内定义分段线性近似, 并利用解和通量的连续性获得相邻单元的梯度变换关系.
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然后, 利用高斯-格林公式获得单元面两侧的梯度, 并得到该面上的法向通量表达式. 最后, 基于最小二乘技术和图搜索算法,
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我们提出了一种适用于任意多面体网格的简单且二阶精度的顶点插值算法, 这可以视为\parencite{Miao2022}的三维扩展.
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@ -60,11 +61,11 @@ i\leq N_{C}$).
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假设顶点$\bm x_v$被$N_f$个面共享,
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令$\mathcal{S}_{v}=\{\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_{N_f}\}$表示顶点周围的面的集合.
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单元$K_i$中包含顶点$\bm x_v$的三个面记为$\sigma_{i_1}$, $\sigma_{i_2}$, $\sigma_{i_3}$, 以下对这三个面的标号使用周期指标, 即规定$\sigma_{i_0}=\sigma_{i_3}$, $\sigma_{i_4}=\sigma_{i_1}$.
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网格面$\sigma_j$的面心记为$\bm x_{j}$,
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网格面$\sigma_j$的面心记为$\bm x_{\sigma_j}$,
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令$\bm m_{j}$为$\sigma_{j}$上的连续点,
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定义为
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\begin{equation}\label{facep}
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\bm m_{j} = (1-\tau)\bm x_v + \tau \bm x_{j},\quad j=1,2,\cdots,N_f,
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\bm m_{j} = (1-\tau)\bm x_v + \tau \bm x_{\sigma_j},\quad j=1,2,\cdots,N_f,
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\end{equation}
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其中$\tau\in (0,1)$.
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@ -347,7 +348,7 @@ u_0 = (1,0,\cdots, 0)
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\section{扩展最小二乘顶点插值算法}
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\label{ch2:sec:vtxintrp}
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在这里, 我们将文献\parencite{Miao2022}的思想推广到三维情形,
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推导扩展最小二乘顶点加权算法(eLSW, extended least square weight).
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推导扩展最小二乘顶点加权算法(extended least square weight, eLSW).
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如图\ref{ch2:fig:viinner}所示,
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$\bm{x}_{v}$是一个一般的内部顶点,
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顶点处的未知量记为$u_{v}$.
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@ -467,7 +468,7 @@ $\mathbb{T}_{2,r_{0}}$, $\cdots $, $\mathbb{T}_{N_{C},r_{0}}$,
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进一步, 根据\parencite{graphbook}中的定理4.6, $G_{v}$中存在以$K_{r_{0}}$为根节点的生成树.
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我们可以通过搜索算法获得这样的生成树.
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原则上, 任何一种搜索算法都可以使用.
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这里, 我们特别介绍广度优先搜索算法(BFS, breadth-first search)和深度优先搜索算法(DFS, depth-first search)\parencite{algorithmbook}.
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这里, 我们特别介绍广度优先搜索算法(breadth-first search, BFS)和深度优先搜索算法(depth-first search, DFS)\parencite{algorithmbook}.
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广度优先搜索之所以如此命名, 是因为它首先扫描最近添加顶点的邻接表以查找未被发现的邻居.
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深度优先搜索顾名思义, 只要有可能就在图中进行更深入的搜索. 基于深度优先搜索计算过渡矩阵的算法在附录中给出.
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@ -6,8 +6,9 @@
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% \section{引言}
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\section{数学模型}\label{notations}
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我们简要介绍非均质各向异性油藏模拟中的油-水两相流的数学模型(更全面的描述见文献\parencite{Bear2013, Peaceman1977, Chen2007}).
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我们简要介绍非均匀各向异性油藏模拟中的油-水两相流的数学模型(更全面的描述见文献\parencite{Bear2013, Peaceman1977, Chen2006}).
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两相流质量平衡方程为
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\begin{equation}\label{eq:mass}
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\frac{\partial (\phi \rho_{\alpha} S_{\alpha})}{\partial t}
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@ -16,38 +17,43 @@
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\end{equation}
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其中$\alpha=w$表示水相, $\alpha=o$表示油相, $\phi$是孔隙率,
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$\rho_{\alpha}$, $S_{\alpha}$, $\boldsymbol v_{\alpha}$以及$q_{\alpha}$分别表示相密度, 相饱和度(即体积分数), 相速度以及介质的源项.
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相速度$\boldsymbol v_{\alpha}$由达西定律给出\parencite{Darcy1856}
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油和水的饱和度满足归一化条件:
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\begin{equation}\label{eq:conser}
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S_w+S_o=1.
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\end{equation}
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这说明油藏基质仅充满油和水.
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方程\eqref{eq:mass}中的相速度$\boldsymbol v_{\alpha}$由达西定律给出\parencite{Darcy1856}
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\begin{equation}\label{eq:darcy}
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\boldsymbol v_{\alpha}
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=
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-\frac{k_{r\alpha}}{\mu_{\alpha}} \Lambda (\nabla p_{\alpha} - \rho_{\alpha} \boldsymbol{g}),\quad \alpha=w,o,
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\end{equation}
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其中$\Lambda$是基岩的绝对渗透率张量, 该张量满足椭圆条件.
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其中$\Lambda$是基质的绝对渗透率张量, 该张量满足椭圆条件.
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$p_{\alpha}$, $\mu_{\alpha}$以及$k_{r\alpha}$分别表示压力, 粘性系数以及相对渗透率.
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||||
$\boldsymbol{g}$表示重力加速度.
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相流度定义为$\lambda_{\alpha} = k_{r\alpha}/\mu_{\alpha}$,
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总流度定义为$\lambda = \lambda_w + \lambda_o$.
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这里需要专门指出, 相对渗透率是关于饱和度的强非线性函数,
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定义相流度为$\lambda_{\alpha} = k_{r\alpha}/\mu_{\alpha}$,
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那么总流度定义为$\lambda = \lambda_w + \lambda_o$.
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相对渗透率是关于饱和度的强非线性函数,
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具体的函数关系与特定的多孔介质和特定的流体相关, 并且通常通过特定的本构模型获得.
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我们假定油藏基质仅充满油和水, 即
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\begin{equation}\label{eq:conser}
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S_w+S_o=1.
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\end{equation}
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我们假定, 不失一般性, 基质和流体都是不可压, 因此相密度$\rho_{\alpha}$和孔隙率$\phi$都假定为常数.
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接下来对模型进行简化.
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我们假定, 基质和流体都是不可压, 因此相密度$\rho_{\alpha}$和孔隙率$\phi$都假定为常数.
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方程\eqref{eq:mass}两边除以$\rho_{\alpha}$, 并对油水两相求和, 再结合\eqref{eq:conser}, 我们得到
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\begin{equation}\label{eq:divv}
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||||
\nabla \cdot \boldsymbol v = Q,
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\end{equation}
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其中$\boldsymbol v = \boldsymbol v_{w} + \boldsymbol v_o$是总速度, 并且总源项(注水率和产出率)记为$Q=Q_w+Q_o$,
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其中$Q_{\alpha} = q_{\alpha}/\rho_{\alpha}$, $\alpha=w,o$.
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||||
进一步, 我们假设毛细管压力$p_c = p_o-p_w$为零, 那么我们记$p=p_o=p_w$.
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||||
进一步, 我们假设毛细管压力$p_c = p_o-p_w$为零, 那么我们记$p_o=p_w:=p$.
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||||
接着, 对方程\eqref{eq:darcy}中的油水两相求和, 忽略重力项, 我们得到
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\begin{equation}\label{eq:totalv}
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\boldsymbol v = - \lambda \Lambda \nabla p.
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\end{equation}
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方程\eqref{eq:divv}和\eqref{eq:totalv}构成压力的椭圆方程.
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||||
再次使用方程\eqref{eq:darcy}, 我们得到
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||||
在上述假定条件下, 方程\eqref{eq:divv}和\eqref{eq:totalv}构成压力的椭圆方程.
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||||
接下来推导饱和度的方程, 再次使用方程\eqref{eq:darcy}, 我们得到
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\begin{equation}\label{eq:vw}
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||||
\boldsymbol v_w = - \lambda_w \Lambda \nabla p = f_w(S_w) \boldsymbol{v},
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\end{equation}
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@ -58,7 +64,7 @@ $\boldsymbol{g}$表示重力加速度.
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这里, $f_w(S_w)$称为水的分流函数, 这是一个关于饱和度的非线性函数.
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将\eqref{eq:vw}和\eqref{eq:fw}代入\eqref{eq:mass}, 两边同时除以$\rho_{w}$, 我们得到关于饱和度的双曲方程:
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\begin{equation}\label{eq:advec}
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||||
\phi \frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol F(S_w)
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\phi \frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla \cdot (\boldsymbol F(S_w))
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||||
=
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Q_w,
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\end{equation}
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||||
@ -67,9 +73,20 @@ $\boldsymbol{g}$表示重力加速度.
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||||
\boldsymbol F(S_w)=f_w(S_w) \boldsymbol v.
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||||
\end{equation}
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||||
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||||
在上述假定条件下, \eqref{eq:divv}, \eqref{eq:totalv}, \eqref{eq:advec}和\eqref{eq:advecflux}构成简化的数学模型:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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||||
\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol v = Q, \\
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||||
\displaystyle \boldsymbol v = - \lambda \Lambda \nabla p, \\
|
||||
\displaystyle \phi \frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla \cdot (\boldsymbol F(S_w))
|
||||
=
|
||||
Q_w, \\
|
||||
\displaystyle \boldsymbol F(S_w)=f_w(S_w) \boldsymbol v.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
当我们采用一组恰当的初始条件和边界条件时,
|
||||
由\eqref{eq:divv}, \eqref{eq:totalv}, \eqref{eq:advec}和\eqref{eq:advecflux}定义的数学模型就完全确定了.
|
||||
设$\Gamma = \partial \Omega$为由$\Gamma_D$和$\Gamma_N$构成,
|
||||
这个数学模型就完全确定了.
|
||||
假设$\Gamma = \partial \Omega$由$\Gamma_D$和$\Gamma_N$构成,
|
||||
满足$\Gamma=\Gamma_D \cup \Gamma_N$以及$\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset$,
|
||||
其中$\Gamma_D$, $\Gamma_N$分别表示Dirichlet边界和Neumann边界.
|
||||
我们也介绍$\Gamma$的另外一种分割, 即$\Gamma=\Gamma_I \cup \Gamma_P$(见\parencite{Chen2021,Chueh2010}).
|
||||
@ -78,12 +95,12 @@ $\Gamma_P = \{ \boldsymbol{x} \in \Gamma: \boldsymbol v \cdot \boldsymbol n \ge
|
||||
其中$\boldsymbol n$表示边界的单位外法向量.
|
||||
在本文中, 我们使用下列边界条件和初值\parencite{Chen2021}:
|
||||
\begin{align}
|
||||
p = g_D & \mbox{ on } \Gamma_D \times [0,T], \\
|
||||
\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n = g_N & \mbox{ on } \Gamma_N \times [0,T], \\
|
||||
S_w = \bar S_w & \mbox{ on } \Gamma_I \times [0,T], \\
|
||||
S_w(\boldsymbol x, 0) = S_w^0 & \mbox{ in } \Omega,
|
||||
p = g_D, & \mbox{ 在 } \Gamma_D \times [0,T] \mbox{ 上 } , \\
|
||||
\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n = g_N, & \mbox{ 在 } \Gamma_N \times [0,T] \mbox{ 上 } , \\
|
||||
S_w = \bar S_w, & \mbox{ 在 } \Gamma_I \times [0,T] \mbox{ 上 } , \\
|
||||
S_w(\boldsymbol x, 0) = S_w^0, & \mbox{ 在 } \Omega \mbox{ 中 } ,
|
||||
\end{align}
|
||||
其中$\bar S_w$表示注水边的给定的水的饱和度,
|
||||
其中$\bar S_w$表示入流边界的给定的水的饱和度,
|
||||
$S_w^0$表示初始时刻$t=0$时, 油藏中的水的饱和度分布.
|
||||
|
||||
\section{数值算法的记号}
|
||||
@ -126,12 +143,12 @@ $S_w^0$表示初始时刻$t=0$时, 油藏中的水的饱和度分布.
|
||||
此外, 引入以下记号
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
\disp\lambda_{K,\sigma}^{(n)} = \left| \sigma \right| \bm n_{K,\sigma}^T {\Lambda_K} \bm n_{K,\sigma},\
|
||||
\lambda_{K,\sigma}^{(1)} = \bm n_{K,\sigma}^T \Lambda_K \bm N_{K,\sigma,1},\
|
||||
\lambda_{K,\sigma}^{(2)} = \bm n_{K,\sigma}^T \Lambda_K \bm N_{K,\sigma,2}{,} \\[0.3cm]
|
||||
\disp\lambda_{L,\sigma}^{(n)} = \left| \sigma \right| \bm n_{L,\sigma}^T \Lambda_L \bm n_{L,\sigma},\
|
||||
\lambda_{L,\sigma}^{(1)} = \bm n_{L,\sigma}^T \Lambda_L \bm N_{L,\sigma,1},\
|
||||
\lambda_{L,\sigma}^{(2)} = \bm n_{L,\sigma}^T \Lambda_L \bm N_{L,\sigma,2},
|
||||
\disp\eta_{K,\sigma}^{(n)} = \left| \sigma \right| \bm n_{K,\sigma}^T {\Lambda_K} \bm n_{K,\sigma},\
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(1)} = \bm n_{K,\sigma}^T \Lambda_K \bm N_{K,\sigma,1},\
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(2)} = \bm n_{K,\sigma}^T \Lambda_K \bm N_{K,\sigma,2}{,} \\[0.3cm]
|
||||
\disp\eta_{L,\sigma}^{(n)} = \left| \sigma \right| \bm n_{L,\sigma}^T \Lambda_L \bm n_{L,\sigma},\
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(1)} = \bm n_{L,\sigma}^T \Lambda_L \bm N_{L,\sigma,1},\
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(2)} = \bm n_{L,\sigma}^T \Lambda_L \bm N_{L,\sigma,2},
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
其中$\Lambda_K=\lambda(\bm x_K) \Lambda(\bm x_K)$, $\Lambda_L=\lambda(\bm x_L) \Lambda(\bm x_L)$.
|
||||
@ -145,10 +162,10 @@ $$
|
||||
其中
|
||||
\begin{eqnarray}\label{step2:a3}
|
||||
&&\alpha_{K,\sigma} =
|
||||
- \frac{\lambda_{K,\sigma}^{(2)}} { {d_{K,\sigma } }}
|
||||
- \frac{\eta_{K,\sigma}^{(2)}} { {d_{K,\sigma } }}
|
||||
, \quad
|
||||
\beta_{K,\sigma} =
|
||||
- \frac{\lambda_{K,\sigma}^{(1)}} { {d_{K,\sigma } }}
|
||||
- \frac{\eta_{K,\sigma}^{(1)}} { {d_{K,\sigma } }}
|
||||
\end{eqnarray}
|
||||
这里, $d_{K,\sigma}$表示${\bm x}_{K}$到$\sigma$的距离.
|
||||
由于
|
||||
@ -158,8 +175,8 @@ $$
|
||||
$$
|
||||
我们有
|
||||
\begin{equation}\label{step2:a4}
|
||||
\lambda_{K,\sigma}^{(1)} +\lambda_{K,\sigma}^{(2)} = -\lambda_{K,\sigma}^{(n)},\quad \alpha_{K,\sigma} + \beta_{K,\sigma} =
|
||||
\frac{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}} {d_{K,\sigma }}.
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(1)} +\eta_{K,\sigma}^{(2)} = -\eta_{K,\sigma}^{(n)},\quad \alpha_{K,\sigma} + \beta_{K,\sigma} =
|
||||
\frac{\eta_{K,\sigma}^{(n)}} {d_{K,\sigma }}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
等式\eqref{step2:a2}两边乘以$- \nabla p$并且在$\sigma$上积分, 我们得到
|
||||
\begin{equation}\label{step2:a5}
|
||||
@ -167,7 +184,7 @@ $$
|
||||
\alpha_{K,\sigma}(p_K - p_{\sigma,1})
|
||||
+ \beta_{K,\sigma}(p_K - p_{\sigma,2}) := F_{K,\sigma},
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中符号$\simeq$表示当扩散张量在每个单元内为分片常数且解在每个单元内为分片线性时,
|
||||
其中符号$\simeq$表示当扩散张量在每个单元内为分片常数且精确解在每个单元内为分片线性时,
|
||||
截断误差为零, 即在相应的推导中保持了线性精确准则.
|
||||
类似地,
|
||||
\begin{equation}\label{step2:a6}
|
||||
@ -178,16 +195,16 @@ $$
|
||||
其中
|
||||
\begin{equation}\label{step2:a7}
|
||||
\alpha_{L,\sigma} =
|
||||
- \frac{\lambda_{L,\sigma}^{(2)}} { {d_{L,\sigma } }}
|
||||
- \frac{\eta_{L,\sigma}^{(2)}} { {d_{L,\sigma } }}
|
||||
, \quad
|
||||
\beta_{L,\sigma} =
|
||||
- \frac{\lambda_{L,\sigma}^{(1)}} { {d_{L,\sigma } }}
|
||||
- \frac{\eta_{L,\sigma}^{(1)}} { {d_{L,\sigma } }}
|
||||
,
|
||||
\end{equation}
|
||||
满足
|
||||
\begin{equation}\label{step2:a8}
|
||||
\lambda_{L,\sigma}^{(1)} +\lambda_{L,\sigma}^{(2)} = -\lambda_{L,\sigma}^{(n)},\quad \alpha_{L,\sigma} + \beta_{L,\sigma} =
|
||||
\frac{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}} {d_{L,\sigma }},
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(1)} +\eta_{L,\sigma}^{(2)} = -\eta_{L,\sigma}^{(n)},\quad \alpha_{L,\sigma} + \beta_{L,\sigma} =
|
||||
\frac{\eta_{L,\sigma}^{(n)}} {d_{L,\sigma }},
|
||||
\end{equation}
|
||||
这里, $d_{L,\sigma}$表示${\bm x}_{L}$到$\sigma$的距离.
|
||||
|
||||
@ -213,35 +230,35 @@ $$
|
||||
\begin{align}
|
||||
\tilde F_{K,\sigma}
|
||||
=&
|
||||
\frac{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}} {d_{K,\sigma }} \mu_{K,\sigma} p_K -
|
||||
\frac{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}} {d_{L,\sigma }} \mu_{L,\sigma} p_L + \left(\frac{ \lambda_{L,\sigma}^{(n)} } { {d_{L,\sigma } }} \mu_{L,\sigma} - \frac{ \lambda_{K,\sigma}^{(n)} } { {d_{K,\sigma } }} \mu_{K,\sigma} \right) p_{\sigma,1} \nonumber \\
|
||||
&+ \left( \frac{\lambda_{K,\sigma}^{(1)}} { {d_{K,\sigma } }} \mu_{K,\sigma} - \frac{\lambda_{L,\sigma}^{(1)}} { {d_{L,\sigma } }} \mu_{L,\sigma} \right) (p_{\sigma,2} - p_{\sigma,1}),
|
||||
\frac{\eta_{K,\sigma}^{(n)}} {d_{K,\sigma }} \mu_{K,\sigma} p_K -
|
||||
\frac{\eta_{L,\sigma}^{(n)}} {d_{L,\sigma }} \mu_{L,\sigma} p_L + \left(\frac{ \eta_{L,\sigma}^{(n)} } { {d_{L,\sigma } }} \mu_{L,\sigma} - \frac{ \eta_{K,\sigma}^{(n)} } { {d_{K,\sigma } }} \mu_{K,\sigma} \right) p_{\sigma,1} \nonumber \\
|
||||
&+ \left( \frac{\eta_{K,\sigma}^{(1)}} { {d_{K,\sigma } }} \mu_{K,\sigma} - \frac{\eta_{L,\sigma}^{(1)}} { {d_{L,\sigma } }} \mu_{L,\sigma} \right) (p_{\sigma,2} - p_{\sigma,1}),
|
||||
\end{align}
|
||||
我们声明, 满足\eqref{unitmu}的任何一对参数都可以使用, 并且都满足线性精确准则.
|
||||
特别地, 我们令
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}} {d_{K,\sigma }} \mu_{K,\sigma} = \frac{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}} {d_{L,\sigma }} \mu_{L,\sigma},
|
||||
\frac{\eta_{K,\sigma}^{(n)}} {d_{K,\sigma }} \mu_{K,\sigma} = \frac{\eta_{L,\sigma}^{(n)}} {d_{L,\sigma }} \mu_{L,\sigma},
|
||||
\end{equation}
|
||||
并且使用\eqref{unitmu}我们得到
|
||||
\begin{equation} \label{fluxweight}
|
||||
{\mu_{K,\sigma}}=
|
||||
\frac{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}},\qquad
|
||||
\frac{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}},\qquad
|
||||
{\mu_{L,\sigma}}=
|
||||
\frac{\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}}.
|
||||
\frac{\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
那么我们得到一种流的表达式
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde F_{K,\sigma}
|
||||
=
|
||||
\frac{1}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_K -
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_K -
|
||||
\frac{1}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_L - \frac{ \frac{\lambda_{L,\sigma}^{(2)}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}} - \frac{\lambda_{K,\sigma}^{(2)}} {{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}} }
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_{\sigma,1}
|
||||
+ \frac{ \frac{\lambda_{K,\sigma}^{(1)}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}} - \frac{\lambda_{L,\sigma}^{(1)}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_{\sigma,2},
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_L - \frac{ \frac{\eta_{L,\sigma}^{(2)}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}} - \frac{\eta_{K,\sigma}^{(2)}} {{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}} }
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_{\sigma,1}
|
||||
+ \frac{ \frac{\eta_{K,\sigma}^{(1)}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}} - \frac{\eta_{L,\sigma}^{(1)}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}}
|
||||
{\frac{d_{K,\sigma}}{{\eta_{K,\sigma}^{(n)}}}+\frac{d_{L,\sigma}}{{\eta_{L,\sigma}^{(n)}}}} p_{\sigma,2},
|
||||
\end{equation}
|
||||
经过直接的代数计算, 我们得到了基于两个单元中心未知量和两个单元顶点未知量的边法向通量的唯一定义:
|
||||
\begin{equation}\label{fluxoneside3}
|
||||
@ -249,28 +266,29 @@ $$
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
{\cal K}_{K,\sigma}&=&\frac{\lambda_{K,\sigma}^{(n)}\lambda_{L,\sigma}^{(n)}}
|
||||
{d_{K,\sigma}\lambda_{L,\sigma}^{(n)}+d_{L,\sigma}\lambda_{K,\sigma}^{(n)}},\\[0.5cm]
|
||||
{\cal K}_{K,\sigma}&=&\frac{\eta_{K,\sigma}^{(n)}\eta_{L,\sigma}^{(n)}}
|
||||
{d_{K,\sigma}\eta_{L,\sigma}^{(n)}+d_{L,\sigma}\eta_{K,\sigma}^{(n)}},\\[0.5cm]
|
||||
{\cal D}_{K,\sigma}&=&
|
||||
\frac{ \lambda_{L,\sigma}^{(2)} } { \lambda_{L,\sigma}^{(n)} }
|
||||
\frac{ \eta_{L,\sigma}^{(2)} } { \eta_{L,\sigma}^{(n)} }
|
||||
-
|
||||
\frac{ \lambda_{K,\sigma}^{(2)} } { \lambda_{K,\sigma}^{(n)} }.
|
||||
\frac{ \eta_{K,\sigma}^{(2)} } { \eta_{K,\sigma}^{(n)} }.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
对于边界边$\sigma\in\mme_K\cap \mme^{ext}$, 我们简单地设置为
|
||||
\begin{equation} \label{boundmu}
|
||||
\tilde
|
||||
F_{K,\sigma}=\mu_{K,\sigma}F_{K,\sigma}\ \ \hbox{with}\ \
|
||||
F_{K,\sigma}=\mu_{K,\sigma}F_{K,\sigma}\ \ \hbox{其中}\ \
|
||||
\mu_{K,\sigma}=1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsection{顶点辅助未知量的插值}
|
||||
假设$\bm{x}_{v}$是一个一般的内部顶点, 该顶点处的位置量为$u_{v}$.
|
||||
我们应用菱形格式中的扩展最小二乘插值算法eLSW.
|
||||
假设$\bm{x}_{v}$是一个一般的内部顶点, 该顶点处的未知量为$u_{v}$.
|
||||
令$\mathcal{M}_{v} = \{K_{i}\in \mathcal{M},i=1,2,\cdots ,N_{C}\}$表示顶点周围的单元集合,
|
||||
单元逆时针排列, 记$\sigma_{i}$表示$K_i$和$K_{i-1}$的公共边.
|
||||
我们的目标是确定权重$\omega _{i}$使得
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:vertexwt}
|
||||
p_{v} = \sum _{i=1}^{N_{C}} \omega _{i} p_{i},
|
||||
p_{v} = \sum _{i=1}^{N_{C}} \omega _{i} p_{i}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
我们首先假设每个单元$K_{i}\in \mathcal{M}_{v}$上的解是线性函数, 那么梯度是分片常数, 定义为$\bm{g}_{i}$,
|
||||
在顶点$\bm{x}_{v}$周围建立分片线性逼近:
|
||||
@ -332,7 +350,8 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\bm y_i = (\mathbb T_{i,i-1} \cdots \mathbb T_{2,1})^T (\bm x_{K_i} - \bm x_v)
|
||||
:= (\xi_i, \eta_i)^T.
|
||||
\end{equation}
|
||||
现在, 我们求解以下最小二乘问题以获得$p_{v}$的表达式:
|
||||
上式定义了一种坐标变换, 将$\bm x_{K_i}$映射到相空间的$(\xi_i, \eta_i)^T$.
|
||||
现在, 我们在相空间求解以下最小二乘问题以获得$p_{v}$的表达式:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:vilseq}
|
||||
\operatorname{argmin}_{ (p_{v},\bm{g}_{1}^{T})^{T} \in \mathbb R^{3}
|
||||
@ -373,7 +392,7 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\label{A1}
|
||||
在$\mathcal{M}_{v}$中, 至少有3个单元, 其单元中心映射到相空间$(\xi , \eta)$中不共线.
|
||||
\end{assumption}
|
||||
在假定\ref{ch2:A1}条件下, $\mathbb Q_{v}$是满秩矩阵, 这意味着矩阵$\mathbb Q_{v}^{T} \mathbb Q_{v}$非奇异.
|
||||
在假定\ref{A1}条件下, $\mathbb Q_{v}$是满秩矩阵, 这意味着矩阵$\mathbb Q_{v}^{T} \mathbb Q_{v}$非奇异.
|
||||
根据\eqref{eq:vilseq}, 顶点插值\eqref{eq:vertexwt}的权重为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:finalweight}
|
||||
@ -404,7 +423,7 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\label{rmk:fail}
|
||||
当假定\ref{ch2:A1}不成立时,
|
||||
当假定\ref{A1}不成立时,
|
||||
矩阵$\mathbb Q_{v}^{T} \mathbb Q_{v}$是奇异的,
|
||||
则插值算法\eqref{eq:finalweight}不再成立.
|
||||
这种情况下有一些策略可以使用:
|
||||
@ -414,12 +433,12 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\subsection{压力的有限体积方程}\label{sec:step5}
|
||||
使用流的定义$\tilde F_{K,\sigma}$, 我们将压力扩散方程的单元中心型有限体积格式描述为:
|
||||
我们将压力扩散方程的单元中心型有限体积格式描述为:
|
||||
寻找${\{p_K, {K\in\mm}\}}$使得
|
||||
\begin{equation}\label{step4:scheme}
|
||||
\sum\limits_{\sigma\in\mme_K}\tilde F_{K,\sigma}=\int_K Q \diff \bm x,\ \ \forall\; K\in\mm,
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中$\tilde F_{K,\sigma}$可以使用\eqref{fluxoneside3}, \eqref{boundmu}以及\eqref{eq:finalweightEX}计算.
|
||||
其中法向流$\tilde F_{K,\sigma}$可以使用\eqref{fluxoneside3}, \eqref{boundmu}, \eqref{eq:vertexwt}以及\eqref{eq:finalweightEX}计算.
|
||||
|
||||
|
||||
\section{饱和度方程的一个线性精确离散}
|
||||
@ -464,7 +483,7 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\end{equation}
|
||||
上式最后一项对应于人为的耗散项, 对通量离散格式起到稳定的作用. 其中的波速定义为:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\alpha = \max_{K,L} \left| (\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}) \frac{\partial f_w}{\partial S_w} \right|.
|
||||
|\alpha| = \max_{K,L} \left| (\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}) \frac{\partial f_w}{\partial S_w} \right|.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
注意到, 通量向量表达式为
|
||||
@ -479,7 +498,7 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boldsymbol v = - \lambda \Lambda \nabla p.
|
||||
\end{equation}
|
||||
那么, 我们有
|
||||
那么, 速度在法向上的投影即为压力扩散方程的法向流
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|\sigma| \boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}
|
||||
=
|
||||
@ -527,14 +546,13 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\mathcal{F}_{LLF} \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, &
|
||||
\text{if }
|
||||
%\begin{cases}
|
||||
\frac{\partial f_w}{\partial S_w}(S_{w,K,\sigma}) \cdot \frac{\partial f_w}{\partial S_w}(S_{w,L,\sigma}) < 0
|
||||
\text{ or }
|
||||
\text{或}
|
||||
\frac{\partial^2 f_w}{\partial S_w^2}(S_{w,K,\sigma}) \cdot \frac{\partial^2 f_w}{\partial S_w^2}(S_{w,L,\sigma}) < 0,
|
||||
%\end{cases}
|
||||
\\
|
||||
\mathcal{F}_{U} \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, & \text{otherwise}
|
||||
\mathcal{F}_{U} \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, & \text{其他}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中迎风与局部Lax-Friedrich通量分别为
|
||||
@ -542,8 +560,8 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\mathcal{F}_{U} \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}
|
||||
=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\boldsymbol F_w(S_{w,K,\sigma}) \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, & \text{if } (\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}) \frac{\partial f_w}{\partial S_w} \ge 0\\
|
||||
\boldsymbol F_w(S_{w,L,\sigma}) \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, & \text{if } (\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}) \frac{\partial f_w}{\partial S_w} < 0
|
||||
\boldsymbol F_w(S_{w,K,\sigma}) \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, & (\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}) \frac{\partial f_w}{\partial S_w} \ge 0\\
|
||||
\boldsymbol F_w(S_{w,L,\sigma}) \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}, & (\boldsymbol v \cdot \boldsymbol n_{K,\sigma}) \frac{\partial f_w}{\partial S_w} < 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@ -597,9 +615,9 @@ p_{h}(\bm x) = p_{v} + \bm g_{i} \cdot (\bm x -
|
||||
\tilde \Pi_{L}
|
||||
=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\displaystyle \min \left( 1, \frac{M_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}\right), & \text{if } \hat S_{w,K,\sigma}>S_{w,K}\\[0.35cm]
|
||||
\displaystyle \min \left( 1, \frac{m_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}\right), & \text{if } \hat S_{w,K,\sigma}<S_{w,K}\\
|
||||
1, & \text{if } \hat S_{w,K,\sigma}=S_{w,K}
|
||||
\displaystyle \min \left( 1, \frac{M_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}\right), & \hat S_{w,K,\sigma}>S_{w,K}\\[0.35cm]
|
||||
\displaystyle \min \left( 1, \frac{m_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}\right), & \hat S_{w,K,\sigma}<S_{w,K}\\
|
||||
1, & \hat S_{w,K,\sigma}=S_{w,K}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中
|
||||
@ -612,9 +630,9 @@ $\Pi_L$的等价定义为
|
||||
\tilde \Pi_{L}
|
||||
=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\displaystyle \frac{m_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}, & \text{if } \hat S_{w,K,\sigma}<m_K\\
|
||||
1, & \text{if } m_K \le \hat S_{w,K,\sigma} \le M_K \\
|
||||
\displaystyle \frac{M_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}, & \text{if } \hat S_{w,K,\sigma}>M_K
|
||||
\displaystyle \frac{m_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}, & \hat S_{w,K,\sigma}<m_K\\
|
||||
1, & m_K \le \hat S_{w,K,\sigma} \le M_K \\
|
||||
\displaystyle \frac{M_K-S_{w,K}}{\hat S_{w,K,\sigma}-S_{w,K}}, & \hat S_{w,K,\sigma}>M_K
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@ -628,4 +646,59 @@ $\Pi_L$的等价定义为
|
||||
S_{w,K,\sigma} = S_{w,K} + \Pi_K (\nabla S_w)_K \cdot (\bm x - \bm x_K).
|
||||
\end{equation}
|
||||
遵循此过程可确保在面内的任何位置重构时, 线性重构的状态变量都满足单调性原则.
|
||||
|
||||
\subsection{时间步长策略}
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||||
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||||
\section{数值实验}
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在本节中, 我们进行了若干数值实验以测试菱形格式搭配二阶单调MUSCL算法的精度和效率.
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||||
所有测试均采用双精度进行, 使用BICGSTAB求解由压力方程得出的线性方程组, 容差为1.0E-15.
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||||
|
||||
\subsection{Buckley-Leverett问题}
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||||
这个经典问题源自文献\parencite{Bastian2003}, 其目的是检验算法的准确性.
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||||
Buckley-Leverett问题是一个常用于模拟一维多孔介质中无毛细压力效应的两相流测试算例. 其压力方程为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\nabla \cdot \boldsymbol v=0 \mbox{ 其中 } \boldsymbol v = -\lambda \Lambda \nabla p.
|
||||
\end{equation}
|
||||
相应的饱和度方程为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\phi \frac{\partial S_w}{\partial t} + \nabla \cdot (f_w(S_w) \boldsymbol v)
|
||||
=0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
多孔介质的绝对渗透率和孔隙率取为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\Lambda = \frac{1}{\lambda},\quad
|
||||
\phi=1.
|
||||
\end{equation}
|
||||
那么压力扩散方程退化为拉普拉斯方程.
|
||||
我们对压力扩散方程应用Dirichlet边界条件, 取压力扩散方程的解析解为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
p(x,y,t)=1-x.
|
||||
\end{equation}
|
||||
那么速度的解析解为$\boldsymbol v=(1,0)^T$, 在整个计算域$\Omega=[0,1]^2$是一个常数.
|
||||
水的分流函数为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f_w(S_w) = \frac{k_{rw}/\mu_{w}}{k_{rw}/\mu_{w}+k_{ro}/\mu_{o}}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
油水的粘度比设置为$M \triangleq (\mu_o/\mu_w)=1$.
|
||||
对于饱和度方程, 在$x=0$这条边的边界条件为$S_w(0,y,t)=1$, 其他的边不设置$S_w$的边界条件.
|
||||
饱和度的初始条件为$S_w(x,y,0)=0$.
|
||||
|
||||
我们考虑以下不同的本构模型情形.
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||||
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||||
\subsubsection{线性相对渗透率}
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||||
相对渗透率与饱和度的关系设置为线性函数:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
k_{rw}=S_{w},\quad
|
||||
k_{ro}=1-S_{w}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
在这种情形下, 饱和度方程退化为线性对流方程, 并且饱和度的解析解为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
S_w(x,y,t)
|
||||
=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
1,&x<t, \\
|
||||
0,&x>t.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
数值结果表明, 误差已达到机器精度.
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||||
% vim:ts=4:sw=4
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@ -3,6 +3,7 @@
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\chapter{数值实验}
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% commands used in this section
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\providecommand{\Tnu}{\texttt{nu}}
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\providecommand{\Tumin}{\texttt{umin}}
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@ -16,7 +17,7 @@
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\providecommand{\NVI}{eLSW}
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||||
本章介绍一系列数值实验, 目的是测试菱形格式搭配不同顶点插值算法的精度和效率.
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||||
我们这里用eLSW(b)和eLSW(d)表示采用广度优先搜索(BFS, breadth-first search)和深度优先搜索(DFS, depth-first search)策略的扩展最小二乘插值算法eLSW.
|
||||
我们这里用eLSW(b)和eLSW(d)表示采用广度优先搜索(breadth-first search, BFS)和深度优先搜索(depth-first search, DFS)策略的扩展最小二乘插值算法eLSW.
|
||||
默认情况下选择eLSW(d), 并且在没有歧义的情况下我们省略标记(d).
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||||
在某些测试中, 我们还测试了最小二乘插值LSW\parencite{Coudiere1999}、三维线性精确显权LPEW3\parencite{Ricardo2021}以及经典的多点流格式MPFA-O作为对比.
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@ -3,4 +3,28 @@
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\chapter{总结与展望}
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本文研究各向异性扩散方程的线性精确有限体积格式及其应用.
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||||
首先基于线性精确准则, 推导了三维多面体网格上的菱形格式.
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||||
然后, 使用线性精确准则, 构造三维多面体网格上的两种线性精确的顶点插值算法. 两种顶点插值算法在任意多面体网格和任意各向异性扩散张量下都保持线性精确性质.
|
||||
最后, 研究了各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式在多孔介质两相流模型的应用.
|
||||
|
||||
线性精确思想作为一种在扭曲网格上构造扩散方程高精度有限体积格式的启示性途径, 要求当问题的精确解是分片线性函数并且扩散系数是分片常数时, 格式中的所有离散步骤精确成立.
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||||
基于线性精确准则, 我们完成了:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 将二维九点格式推广到三维菱形格式. 菱形格式的名称源于通量近似所采用的菱形模板, 网格面上的法向流表示为面两侧的单元未知量和面上的顶点未知量的组合.
|
||||
\item 构造三维多面体网格上的两种线性精确的顶点插值算法, 用单元中心的主未知量消除了顶点辅助未知量. 第一种顶点插值算法使用多点通量近似结合取极限过程获得, 第二种顶点插值算法使用最小二乘技术结合图搜索算法获得. 搭配第二种顶点插值算法eLSW的菱形格式在一般网格上几乎达到了最优收敛率. 通过图搜索算法和梯度过渡技术建立了从原始空间到相空间的坐标变换.
|
||||
无论扩散系数是否间断, 在相空间中梯度都是常数.
|
||||
eLSW算法在相空间中求解具有四个未知量的最小二乘问题,
|
||||
这与经典最小二乘算法相同.
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||||
eLSW的一个缺点可能是,
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||||
插值公式\eqref{ch2:eq:finalweight}仅在假设\ref{ch2:A1}成立时才有效.
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||||
尽管目前我们无法证明在相空间中最小二乘问题存在唯一解, 但在数值测试中我们从未遇到过反例, 并且在注释\ref{ch2:rmk:fail}中给出了一些可能的应急策略.
|
||||
\item 研究了各向异性扩散方程的单元中心型有限体积格式在多孔介质两相流模型的应用. 数学模型包括压力的扩散方程和饱和度的非线性双曲方程. 本文根据线性精确的思想, 推导一类二阶精度的单元中心型有限体积格式, 并将其应用于多孔介质两相流数值模拟. 结合双曲守恒律中广泛使用的二阶单调MUSCL格式求解饱和度方程, 进而形成格式可扩展的两相流模拟器.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
我们将继续研究实用且高精度的扩散格式,
|
||||
包括构造新的单元中心格式以及对已有的格式进行单调改进.
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||||
此外, 未来的一些工作包括将本文的算法应用于实际的多材料物理问题、三维放射性核素输运问题等等.
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||||
% vim:ts=4:sw=4
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||||
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||||
@ -5,13 +5,14 @@
|
||||
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||||
本章和下一章主要研究多面体网格上扩散方程的菱形格式.
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||||
菱形格式的构造主要分为两个步骤, 第一步是构造网格面法向流的表达式,
|
||||
将法向流表示为两侧单元中心值和面顶点值的组合,
|
||||
将法向流表示为两侧单元中心值和面上顶点值的组合,
|
||||
第二步是构造面上顶点值的插值公式, 将顶点值表示为周围单元中心值的组合, 从而得到单元中心型有限体积格式.
|
||||
我们在这一章基于线性精确(Linearity-preserving)准则推导了菱形格式,
|
||||
将网格面法向流表示为面两侧单元中心值和顶点值的组合.
|
||||
在下一章研究线性精确的顶点插值算法.
|
||||
|
||||
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||||
|
||||
\section{模型与记号}
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||||
我们考虑如下扩散问题
|
||||
\begin{align}
|
||||
@ -297,10 +298,13 @@ $\bm 0$表示所有分量都为$0$的向量,
|
||||
|
||||
\subsection{第一种菱形格式}
|
||||
|
||||
在这里我们使用线性精确方法,
|
||||
假设解是分片线性的, 分片线性逼近记为$u_h$,
|
||||
那么梯度是分片常数,
|
||||
将两侧单元的梯度表示为单元中心值和顶点值的组合,
|
||||
根据流连续条件推导出法向流的表达式.
|
||||
我们使用\ref{ch2:sec:linapp}节的分片线性逼近, 给出第一种菱形格式法向流的推导.
|
||||
根据命题\ref{ch2:eq:gradtransexp0}, 只要一侧的梯度确定了, 另一侧的梯度也唯一确定.
|
||||
在这里我们使用线性精确方法, 将两侧单元的梯度表示为单元中心值和顶点值的组合,
|
||||
从而得到法向流的表达式.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
@ -412,7 +416,7 @@ u_{h}(\bm x) \bm \nu (\bm x)\,\mathrm{d}s
|
||||
\sigma} \Lambda _{K}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
类似于\ref{ch2:sec:linapp}节的讨论,
|
||||
$\mathbb{G}_{L,K}$也是与$\bm{t}_{\sigma ,1}$和$\bm{t}_{\sigma ,2}$的选取无关的.
|
||||
$\mathbb{G}_{L,K}$也是与$\bm{t}_{\sigma ,1}$和$\bm{t}_{\sigma ,2}$的选取无关.
|
||||
由\eqref{ch2:eq:greenform}和\eqref{ch2:eq:gradsplit}, 我们推出
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{ch2:eq:gkfinal}
|
||||
@ -431,13 +435,18 @@ $\mathbb{G}_{L,K}$也是与$\bm{t}_{\sigma ,1}$和$\bm{t}_{\sigma ,2}$的选取
|
||||
\int _{\sigma } \bm{F}\cdot \bm{n}_{K,\sigma } \,\mathrm{d}s \approx -|
|
||||
\sigma | \bm{n}_{K,\sigma }^{T}\Lambda _{K} \bm g_{K},
|
||||
\end{equation}
|
||||
以及
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\int _{\sigma } \bm{F}\cdot \bm{n}_{L,\sigma } \,\mathrm{d}s \approx -|
|
||||
\sigma | \bm{n}_{L,\sigma }^{T}\Lambda _{L} \bm g_{L},
|
||||
\end{equation}
|
||||
可得
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{ch2:eq:fluximp}
|
||||
F_{K,\sigma } = -|\sigma |\bm{n}_{K,\sigma }^{T}\Lambda _{K} (
|
||||
\mathbb{G}_{L,K})^{-1} \frac{1}{3|D_{\sigma }|} \left ( (u_{L}-u_{K})|
|
||||
\sigma | \bm n_{K,\sigma } + \sum _{i=1}^{N_{\sigma }} u_{\sigma ,i}
|
||||
\bm N_{\sigma ,i} \right ).
|
||||
\bm N_{\sigma ,i} \right ),
|
||||
\end{equation}
|
||||
以及
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@ -522,22 +531,43 @@ F_{K,\sigma} = {\mathcal{K}}_{\textit{eff}} \left [ (u_{K}-u_{L}) - \sum _{i=1}^
|
||||
\mathbf I_{K,\sigma} = \int_{\sigma} u_h(\bm x) \bm \nu(\bm x) \diff s
|
||||
=u_h(\bm x_{\bar \sigma}) |\sigma| \bm n_{K,\sigma},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
其中$\bm x_{\bar \sigma}$为积分中值点.
|
||||
|
||||
|
||||
类似地,
|
||||
对$\nabla u_h$在区域$D_{L,\sigma}$上积分可得
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bm g_L = \frac{1}{|D_{L, \sigma }|}\left( \frac{1}{3}\sum _{i=1}^{N_{\sigma }} (u_{h}(
|
||||
\bm x_{L}) + u_{h}(\bm x_{\sigma ,i}) + u_{h}(\bm x_{\sigma ,i+1}))
|
||||
\bm N_{L,i} + \mathbf I_{L,\sigma}\right),
|
||||
\end{equation}
|
||||
其中
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf I_{L,\sigma} = -\mathbf I_{K,\sigma} = u_h(\bm x_{\bar \sigma}) |\sigma| \bm n_{L,\sigma}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
|
||||
注意到
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\int _{\sigma } \bm{F}\cdot \bm{n}_{K,\sigma } \,\mathrm{d}s \approx -|
|
||||
\sigma | \bm{n}_{K,\sigma }^{T}\Lambda _{K} \bm g_{K},
|
||||
\end{equation}
|
||||
以及
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\int _{\sigma } \bm{F}\cdot \bm{n}_{L,\sigma } \,\mathrm{d}s \approx -|
|
||||
\sigma | \bm{n}_{L,\sigma }^{T}\Lambda _{L} \bm g_{L},
|
||||
\end{equation}
|
||||
可得
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{ch2:eq:flux1}
|
||||
F_{K,\sigma } = - \frac{1}{|D_{K,\sigma}|} \left( \frac{1}{3}\sum _{i=1}^{N_{\sigma }} (u_{K} + u_{\sigma,i} + u_{\sigma,i+1})
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(i)} + u_{\sigma} \lambda_{K,\sigma}^{(n)}\right).
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(i)} + u_{\bar \sigma} \lambda_{K,\sigma}^{(n)}\right).
|
||||
\end{equation}
|
||||
类似地, 另一个单侧流为
|
||||
以及
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{ch2:eq:flux2}
|
||||
F_{L,\sigma } = - \frac{1}{|D_{L,\sigma}|} \left( \frac{1}{3}\sum _{i=1}^{N_{\sigma }} (u_{L} + u_{\sigma,i} + u_{\sigma,i+1})
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(i)} + u_{\sigma} \lambda_{L,\sigma}^{(n)}\right).
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(i)} + u_{\bar \sigma} \lambda_{L,\sigma}^{(n)}\right).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
|
||||
@ -563,10 +593,10 @@ F_{L,\sigma } = - \frac{1}{|D_{L,\sigma}|} \left( \frac{1}{3}\sum _{i=1}^{N_{\si
|
||||
\tilde F_{K,\sigma}
|
||||
=&
|
||||
- \frac{\mu_{K,\sigma}}{|D_{K,\sigma}|} \left( \frac{1}{3}\sum _{i=1}^{N_{\sigma }} (u_{K} + u_{\sigma,i} + u_{\sigma,i+1})
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(i)} + u_{\sigma} \lambda_{K,\sigma}^{(n)}\right)\nonumber \\
|
||||
\eta_{K,\sigma}^{(i)} + u_{\bar \sigma} \lambda_{K,\sigma}^{(n)}\right)\nonumber \\
|
||||
&+
|
||||
\frac{\mu_{L,\sigma}}{|D_{L,\sigma}|} \left( \frac{1}{3}\sum _{i=1}^{N_{\sigma }} (u_{L} + u_{\sigma,i} + u_{\sigma,i+1})
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(i)} + u_{\sigma} \lambda_{L,\sigma}^{(n)}\right),
|
||||
\eta_{L,\sigma}^{(i)} + u_{\bar \sigma} \lambda_{L,\sigma}^{(n)}\right),
|
||||
\end{align}
|
||||
为了消去面心值, 我们令
|
||||
\begin{equation}
|
||||
|
||||
@ -28,18 +28,42 @@
|
||||
% SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
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||||
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||||
% 此处不用 \specialchap，因为学校要求目录不包括其自己及其之前的内容。
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||||
\chapter*{版权声明}
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||||
% 综合学校的书面要求及 Word 模版来看，版权声明页不用加页眉、页脚。
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||||
\thispagestyle{empty}
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||||
任何收存和保管本论文各种版本的单位和个人，
|
||||
未经本论文作者同意，不得将本论文转借他人，
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||||
亦不得随意复制、抄录、拍照或以任何方式传播。
|
||||
否则，引起有碍作者著作权之问题，将可能承担法律责任。
|
||||
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||||
% 若须排版二维码，请将二维码图片重命名为“barcode”，
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||||
% 转为合适的图片格式，并放在当前目录下，然后去掉下面 2 行的注释。
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%\vfill\noindent
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||||
%\includegraphics[height = 5em]{barcode}
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\vspace{20pt}
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\begin{center}
|
||||
\zihao{-2}独创性声明
|
||||
\end{center}
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\vspace{40pt}
|
||||
\par 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
|
||||
|
||||
\vspace{30pt}
|
||||
|
||||
\noindent \begin{tabular}{@{}p{.65\textwidth}p{.35\textwidth}}
|
||||
学位论文作者签名: & 签字日期:\qquad \quad 年 \quad 月 \quad 日
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\vspace{80pt}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\zihao{-2}学位论文版权使用授权书
|
||||
\end{center}
|
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|
||||
\vspace{30pt}
|
||||
\par 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生院有关保存、使用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授权中国工程物理研究院研究生院可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。
|
||||
|
||||
\vspace{40pt}
|
||||
\begin{flushleft}
|
||||
\begin{tabular}{@{}p{.65\textwidth}p{.35\textwidth}}
|
||||
学位论文作者签名: & 导师签名: \\
|
||||
\\
|
||||
签字日期:\qquad \quad 年 \quad 月 \quad 日 & 签字日期:\qquad \quad 年 \quad 月 \quad 日
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{flushleft}
|
||||
|
||||
% vim:ts=4:sw=4
|
||||
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||||
@ -1,7 +1,40 @@
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||||
% Copyright (c) 2014,2016 Casper Ti. Vector
|
||||
% Public domain.
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||||
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||||
\chapter{附件}
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||||
\pkuthssffaq % 中文测试文字。
|
||||
\chapter{基于深度优先搜索算法计算过渡矩阵}
|
||||
两种最常见的树搜索算法是广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS).
|
||||
在此, 我们推荐深度优先搜索, 因为它可以通过编写递归代码简单实现.
|
||||
给定一个顶点$\bm x_{v}$和一个代表单元$K_{r_{0}} \in \mathcal{M}_{v}$,
|
||||
我们需要一些初始化设置.
|
||||
令$\mathbb{T}_{r_{0},r_{0}} = \mathbb{I}_{3}$,
|
||||
令$\mathscr{V}$表示长度为$N_C$的标签数组,
|
||||
用于标记已访问过的单元.
|
||||
标签数组初始值设置为\texttt{false}.
|
||||
以下算法是基于深度优先搜索算法\parencite{algorithmbook}计算过渡矩阵.
|
||||
使用以下算法可以获得等式\eqref{ch2:eq:finalgradrelation}中的$\mathbb{T}_{i,r_{0}} (i=1,2,\cdots,N_{C})$.
|
||||
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||||
\begin{algorithm}
|
||||
\caption{基于深度优先搜索计算过渡矩阵的算法}
|
||||
\label{alg:dft}
|
||||
\begin{algorithmic}[1]
|
||||
\Procedure{T}{$G_{v}$}
|
||||
\State $\mathbb{T}_{r_{0},r_{0}} \gets \mathbb{I}_{3}$
|
||||
\For{$i \gets 1, N_{C}$}
|
||||
\State $\mathscr{V}_{i} \gets \texttt{false}$
|
||||
\EndFor
|
||||
\State DFS($r_{0}$)
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\Statex
|
||||
\Procedure{DFS}{$i$}\Comment{输入整数$i$, 表示单元$K_{i} \in \mathcal{M}_{v}$}
|
||||
\State $\mathscr{V}_{i} \gets \texttt{false}$
|
||||
\ForAll {$K_{l} \in \mathcal{M}_{v}$}
|
||||
\If {$K_{i}$与$K_{l}$有公共面且$\mathscr{V}_{l} = \texttt{false}$}
|
||||
\State 通过\eqref{ch2:eq:gradtransexp}计算关于单元$K_{l}, K_{i} \in \mathcal{M}_{v}$的过渡矩阵$\mathbb{T}_{l,i}$
|
||||
\State $\mathbb{T}_{l,r_{0}} \gets \mathbb{T}_{l,i}\mathbb{T}_{i,r_{0}}$
|
||||
\State DFS($l$)\Comment{使用整数$l$递归调用DFS}
|
||||
\EndIf
|
||||
\EndFor
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
% vim:ts=4:sw=4
|
||||
|
||||
@ -27,13 +27,16 @@
|
||||
[2021/10/16 v1.9.1 Labels and captions in UTF-8 encoding
|
||||
for the pkuthss document class]
|
||||
|
||||
\def\label@ctitle{题目：}
|
||||
\def\label@ctitle{}
|
||||
\def\label@cauthor{姓\hphantom{汉字}名：}
|
||||
\def\label@studentid{学\hphantom{汉字}号：}
|
||||
\def\label@school{院\hphantom{汉字}系：}
|
||||
\def\label@cmajor{专\hphantom{汉字}业：}
|
||||
\def\label@cmajor{专业名称}
|
||||
\def\label@direction{研究方向：}
|
||||
\def\label@cmentor{导\hphantom{汉字}师：}
|
||||
\def\label@cmentor{指导教师姓名}
|
||||
\def\label@thedgree{申请学位级别}
|
||||
\def\label@thesubmitdate{论文提交日期}
|
||||
\def\label@thedefencedate{论文答辩日期}
|
||||
\def\label@ckeywords{关键词：}
|
||||
\def\label@blindcover{（匿名评阅论文封面）}
|
||||
\def\label@blindctitle{中文题目：}
|
||||
|
||||
@ -138,6 +138,7 @@
|
||||
% `tocloft'; it clashes with `subfigure'/`subfig', but the error message will
|
||||
% say they cannot be used simultaneously.
|
||||
\RequirePackage{caption, subcaption}
|
||||
% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly
|
||||
\DeclareCaptionFont{capfsize}{\fontsize{11bp}{13.2bp}}
|
||||
\else
|
||||
@ -228,6 +229,13 @@
|
||||
\thss@int@infoitema{ementor}
|
||||
\thss@int@infoitema{ckeywords}
|
||||
\thss@int@infoitema{ekeywords}
|
||||
\thss@int@infoitema{theclsnum}
|
||||
\thss@int@infoitema{theconflv}
|
||||
\thss@int@infoitema{theUDC}
|
||||
\thss@int@infoitema{thethesisnum}
|
||||
\thss@int@infoitema{thedgree}
|
||||
\thss@int@infoitema{thesubmitdate}
|
||||
\thss@int@infoitema{thedefencedate}
|
||||
\thss@int@infoitema{blindid}
|
||||
\thss@int@infoitema{discipline}
|
||||
\thss@int@infoitemb{cuniversity}
|
||||
@ -245,6 +253,7 @@
|
||||
|
||||
% Set up page layout.
|
||||
\geometry{a4paper, hmargin = 2.6cm, headheight = 0.5cm, headsep = 0.6cm}
|
||||
% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly
|
||||
\geometry{top = 3.1cm, bottom = 3.0cm, footskip = 0.8cm}
|
||||
\else
|
||||
@ -271,6 +280,7 @@
|
||||
chapter = {nameformat = {}, titleformat = {}},
|
||||
subsubsection = {format = {\zihao{-4}\bfseries}}
|
||||
}
|
||||
% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly
|
||||
\ctexset{
|
||||
chapter = {format = {\zihao{3}\bfseries\centering}},
|
||||
@ -346,8 +356,31 @@
|
||||
\thss@int@pdfmark{\titlepagename}{titlepage}
|
||||
% Make the title page centered.
|
||||
\begin{titlepage}\centering
|
||||
\noindent
|
||||
分类号
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{4cm}{\@theclsnum}
|
||||
\hfill
|
||||
密级
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{4cm}{\@theconflv} \\
|
||||
\noindent
|
||||
UDC \hspace{0.5em}
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{4cm}{\@theUDC}
|
||||
\hfill
|
||||
编号
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{4cm}{\@thethesisnum} \\
|
||||
% Emblem and inscription of the university, and type of thesis.
|
||||
{%
|
||||
{% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly%
|
||||
\zihao{-0}\hspace{0.3em}%
|
||||
\\[0.5em]
|
||||
\else%
|
||||
\zihao{0}\hspace{0.4em}%
|
||||
\\[0.1em]
|
||||
\fi%
|
||||
{\bfseries \thesiscover}%
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
{% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly%
|
||||
\zihao{-0}\hspace{0.3em}%
|
||||
\\[0.5em]
|
||||
@ -355,30 +388,69 @@
|
||||
\zihao{1}\hspace{0.4em}%
|
||||
\\[0.8em]
|
||||
\fi%
|
||||
{\bfseries\ifx\thesiscover\empty{\cthesisname}\else{\thesiscover}\fi}%
|
||||
{\bfseries \cthesisname}%
|
||||
}
|
||||
\vfill
|
||||
\\
|
||||
% Title of the thesis.
|
||||
{%
|
||||
\ifthss@opt@ugly\zihao{-1}\else\zihao{2}\fi%
|
||||
\linespread{1.6}\selectfont{\label@ctitle}%
|
||||
\thss@int@fillinblank{2}{0.64\textwidth}{\textbf{\@ctitle}}%
|
||||
{% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly%
|
||||
\zihao{-0}\hspace{0.3em}%
|
||||
\\[0.5em]
|
||||
\else%
|
||||
\zihao{-2}\hspace{0.4em}%
|
||||
\\[0.4em]
|
||||
\fi%
|
||||
\underline{\bfseries \@ctitle}%
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
{% \ifthss@opt@ugly false
|
||||
\ifthss@opt@ugly%
|
||||
\zihao{-0}\hspace{0.3em}%
|
||||
\\[0.5em]
|
||||
\else%
|
||||
\zihao{3}\hspace{0.4em}%
|
||||
\\[0.6em]
|
||||
\fi%
|
||||
\underline{\bfseries \@cauthor}%
|
||||
}
|
||||
\vfill
|
||||
% Information about the author.
|
||||
{%
|
||||
% Slightly adjust the line skip when using new font size.
|
||||
\zihao{3}\linespread{1.75}\selectfont
|
||||
\def\thss@tmp@len{0.56\textwidth}
|
||||
\begin{tabular}{l@{\extracolsep{0.2em}}c}
|
||||
{\bfseries\label@cauthor} &
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{\thss@tmp@len}{\fangsong\@cauthor} \\
|
||||
{\bfseries\label@cmajor} &
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{\thss@tmp@len}{\fangsong\@cmajor} \\
|
||||
{\bfseries\label@cmentor} &
|
||||
\thss@int@fillinblank{\mentorlines}%
|
||||
{\thss@tmp@len}{\fangsong\@cmentor} \\
|
||||
\end{tabular}%
|
||||
{
|
||||
\noindent
|
||||
\zihao{4}
|
||||
{\bfseries\label@cmentor}\hspace{0.2em}%
|
||||
\uline{\hfill \@cmentor \hfill}
|
||||
}
|
||||
\\[1.6em]
|
||||
{
|
||||
\noindent
|
||||
\zihao{4}
|
||||
{\bfseries\label@thedgree}\hspace{0.2em}%
|
||||
\uline{\hfill \@thedgree \hfill}%
|
||||
{\bfseries\label@cmajor}\hspace{0.2em}%
|
||||
\uline{\hfill \@cmajor \hfill}%
|
||||
}
|
||||
\\[1.6em]
|
||||
{
|
||||
\noindent
|
||||
\zihao{4}
|
||||
{\bfseries\label@thesubmitdate}\hspace{0.2em}%
|
||||
\uline{\hfill \@thesubmitdate \hfill}%
|
||||
{\bfseries\label@thedefencedate}\hspace{0.2em}%
|
||||
\uline{\hfill \@thedefencedate \hfill}%
|
||||
}
|
||||
\\[1.6em]
|
||||
{
|
||||
\noindent
|
||||
\zihao{4}
|
||||
{\bfseries 学位授予单位}\hspace{0.2em}%
|
||||
\uline{\hfill 中国工程物理研究院 \hfill}
|
||||
}
|
||||
\vfill
|
||||
{
|
||||
\hfill
|
||||
\zihao{4}
|
||||
{\bfseries 答辩委员会主席}%
|
||||
\thss@int@fillinblank{1}{4cm}{}
|
||||
}
|
||||
\vfill
|
||||
% Date.
|
||||
|
||||
@ -30,7 +30,7 @@
|
||||
\def\ethesisname{Doctor Thesis}
|
||||
\def\thesiscover{}
|
||||
\def\mentorlines{1}
|
||||
\def\eabstractname{ABSTRACT}
|
||||
\def\eabstractname{Abstract}
|
||||
|
||||
\ifthss@opt@ugly
|
||||
\def\label@ekeywords{KEY WORDS:\ }
|
||||
|
||||
@ -1,3 +1,23 @@
|
||||
@inproceedings{Bastian2003,
|
||||
author = {Bastian, P.},
|
||||
title = {Higher Order Discontinuous Galerkin Methods for Flow and Transport in Porous Media},
|
||||
booktitle = {Challenges in Scientific Computing - CISC 2002},
|
||||
editor = {Bänsch, Eberhard},
|
||||
publisher = {Springer Berlin Heidelberg},
|
||||
pages = {1-22},
|
||||
year = {2003},
|
||||
ISBN = {978-3-642-19014-8},
|
||||
type = {Conference Proceedings}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@MISC{wjm2005,
|
||||
note = {J. Wu, Linearly exact method and the difference scheme for diffusion equation
|
||||
on quadrilateral meshes, 计算物理实验室年报, (2005) 156--169},
|
||||
key = {Wu},
|
||||
owner = {Administrator},
|
||||
timestamp = {2010.06.10}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@article{EMPFA2008,
|
||||
author = {Chen, Q. Y. and Wan, J. and Yang, Y. and Mifflin, R. T.},
|
||||
title = {Enriched multi-point flux approximation for general grids},
|
||||
@ -225,7 +245,7 @@
|
||||
}
|
||||
|
||||
@article{Coudiere2011,
|
||||
author = {Coudiere, Y. and Hubert, F.},
|
||||
author = {Coudi\`{e}re, Y. and Hubert, F.},
|
||||
title = {A 3D DISCRETE DUALITY FINITE VOLUME METHOD FOR NONLINEAR ELLIPTIC EQUATIONS},
|
||||
journal = {{SIAM J. Sci. Comput.}},
|
||||
volume = {33},
|
||||
@ -931,14 +951,6 @@
|
||||
year = {2010}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{Chen2007,
|
||||
author = {Chen, Z. X.},
|
||||
title = {Reservoir Simulation: Mathematical Techniques in Oil Recovery},
|
||||
publisher = {SIAM},
|
||||
year = {2007},
|
||||
type = {Book}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book{Peaceman1977,
|
||||
author = {Peaceman, D. W.},
|
||||
title = {Fundamentals of numerical reservoir simulation},
|
||||
@ -995,16 +1007,6 @@
|
||||
type = {Book}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@article{mared2008,
|
||||
author = {Ding, Ning and Wu, Jiming and Yang, Zhenhua and Fu, Shangwu and Ning, Cheng and Liu, Quan and Shu, Xiaojian and Zhang, Yang and Dai, Zihuan},
|
||||
title = {Simulation of Z-pinch implosion using MARED code},
|
||||
journal = {{High Power Laser Particle Beams}},
|
||||
volume = {20},
|
||||
number = {2},
|
||||
pages = {212-218},
|
||||
year = {2008}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@article{Potier2020,
|
||||
author = {Le Potier, C.},
|
||||
title = {A second order in space combination of methods verifying a maximum principle for the discretization of diffusion operators},
|
||||
@ -1128,17 +1130,6 @@ isbn = {978-0-12-543457-7},
|
||||
year = {2015}
|
||||
}
|
||||
|
||||
@article{Wu2011,
|
||||
author = {Wu, J. M. and Gao, Z. M.},
|
||||
title = {A nine-point scheme with explicit weights for diffusion equations on distorted meshes},
|
||||
journal = {{Appl. Numer. Math.}},
|
||||
volume = {61},
|
||||
number = {7},
|
||||
pages = {844-867},
|
||||
year = {2011}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
% from old bib
|
||||
@inproceedings{shepard,
|
||||
author={Shepard, D.},
|
||||
|
||||
@ -27,6 +27,8 @@
|
||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
\usepackage{booktabs}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
\usepackage{algorithm}
|
||||
\usepackage{algpseudocode}
|
||||
|
||||
\hypersetup{colorlinks = true, allcolors = blue}
|
||||
% 对于 linespread 值的计算过程有兴趣的同学可以参考 pkuthss.cls。
|
||||
@ -67,19 +69,33 @@
|
||||
\newif\ifblind\blindfalse
|
||||
% 设定文档的基本信息。
|
||||
\pkuthssinfo{
|
||||
cthesisname = {博士学位论文}, ethesisname = {Doctor Thesis},
|
||||
thesiscover = {博士学位论文},
|
||||
cthesisname = {学 \, 位 \, 论 \, 文}, ethesisname = {Doctor Thesis},
|
||||
thesiscover = {中国工程物理研究院},
|
||||
% 长标题可用 \thssnl 强制换行，不能用“\\”（双盲版会出错）。
|
||||
ctitle = {扩散方程的线性精确有限体积格式及其应用},
|
||||
etitle = {TBA},
|
||||
cauthor = {骆龙山}, eauthor = {Test}, date = {2025年4月},
|
||||
studentid = {0123456789}, school = {某某学院},
|
||||
cmajor = {计算数学}, emajor = {Some Major},
|
||||
direction = {某某方向}, mentorlines = {2},
|
||||
cauthor = {骆龙山}, eauthor = {Longshan Luo}, date = {2025年5月},
|
||||
studentid = {xx}, school = {某某学院},
|
||||
cmajor = {计算数学}, emajor = {Computational Mathematics},
|
||||
direction = {偏微分方程数值解}, mentorlines = {1},
|
||||
cmentor = {高志明~研究员},
|
||||
ementor = {Prof.\ Somebody and Prof.\ Someone},
|
||||
ckeywords = {有限体积法, 线性精确, 两相流},
|
||||
ekeywords = {Finite Volume Methods, Linearity-preserving, Two-phase flow},
|
||||
% 分类号
|
||||
theclsnum = {xxx},
|
||||
% 密级
|
||||
theconflv = {公开},
|
||||
% UDC
|
||||
theUDC = {},
|
||||
% 编号
|
||||
thethesisnum = {},
|
||||
% 申请学位级别
|
||||
thedgree = {博士},
|
||||
% 论文提交日期
|
||||
thesubmitdate = {2025年4月28日},
|
||||
% 论文答辩日期
|
||||
thedefencedate = {2025年5月29日},
|
||||
% 以下两项无双盲评审需求的用户可保持原状。
|
||||
% 注意 discipline/major 分别指一/二级学科。
|
||||
blindid = {9876543210}, discipline = {某某学科}
|
||||
@ -122,13 +138,14 @@
|
||||
\include{chap/chap3}
|
||||
\include{chap/chap5}
|
||||
|
||||
|
||||
% 正文中的附录部分。
|
||||
\appendix
|
||||
% 排版参考文献列表。bibintoc 选项使“参考文献”出现在目录中；
|
||||
% 如果同时要使参考文献列表参与章节编号，可将“bibintoc”改为“bibnumbered”。
|
||||
\printbibliography[heading = bibintoc]
|
||||
% 各附录。
|
||||
% \include{chap/encl1}
|
||||
\include{chap/encl1}
|
||||
|
||||
% 以下为正文之后的部分，默认不进行章节编号。
|
||||
\backmatter
|
||||
|
||||
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Reference in New Issue
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