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\chapter{数值实验}


% commands used in this section
\providecommand{\Tnu}{\texttt{nu}}
\providecommand{\Tumin}{\texttt{umin}}
\providecommand{\Tumax}{\texttt{umax}}
\providecommand{\MshKnd}[1]{\texttt{#1}}
\providecommand{\MKlvl}[2]{\MshKnd{#1}$_{#2}$}
\providecommand{\NSCHM}{DS}
\providecommand{\VILS}{LSW}
\providecommand{\CPU}{\texttt{CPU}}
\providecommand{\Niter}{\texttt{iter}}
\providecommand{\NVI}{eLSW}

本章介绍一系列数值实验, 目的是测试菱形格式搭配不同顶点插值算法的精度和效率.
我们这里用eLSW(b)和eLSW(d)表示采用广度优先搜索(breadth-first search, BFS)和深度优先搜索(depth-first search, DFS)策略的扩展最小二乘插值算法eLSW.
默认情况下选择eLSW(d), 并且在没有歧义的情况下我们省略标记(d).
在某些测试中, 我们还测试了最小二乘插值LSW\parencite{Coudiere1999}、三维线性精确显权LPEW3\parencite{Ricardo2021}以及经典的多点流格式MPFA-O作为对比. 


数值解和法向流的误差通过以下方式评估:
\begin{align}
E_{u} & = \left (
\frac{\sum _{K\in \mathcal{M}}(u(\bm{x}_{K})-u_{K})^{2}|K|}
{\sum _{K\in \mathcal{M}}(u(\bm{x}_{K}))^{2}|K|}
\right )^{1/2} ,
\\
E_{q} & = \left (
\frac{\sum _{\sigma \in \mathcal{S}}(q(\bm{x}_{\sigma})-q_{\sigma})^{2}Q_{\sigma}}
{\sum _{\sigma \in \mathcal{S}}{(q(\bm{x}_{\sigma}))^{2}}Q_{\sigma}}
\right )^{1/2} ,
\end{align}
其中$Q_{\sigma }$是网格面$\sigma$两侧的单元体积之和,
并且$q=-\Lambda \nabla u \cdot \bm{n}$表示网格面上单位面积的法向流.
此外, $q(\bm{x}_{\sigma })$和$q_{\sigma }$分别表示精确的法向流和数值解的法向流.
我们引入以下附加符号:
\begin{itemize}
  \item \texttt{nu}, 表示单元中心未知量个数;
  \item \texttt{umin}, 表示数值解的最小值;
  \item \texttt{umax}, 表示数值解的最大值;
  \item \texttt{CPU}, 表示CPU时间, 单位为秒.
\end{itemize}
我们按如下方式计算收敛阶
\begin{equation}
R_{\alpha}(i) = -3
\frac{\log (E_{u}(i)/E_{u}(i-1))}
{\log (\texttt{nu}(i)/\texttt{nu}(i-1))} ,\quad i\geq 2 ,\quad
\alpha =u,q,
\end{equation}
其中$i$是网格层的编号.
这里需要说明, CPU时间的测量不包含网格数据的计算.
当\texttt{nu}较小的时候, 总计算量也较小, 计算很快就完成, 此时计时器显示的CPU时间可能不够精确.

主要测试的网格如图\ref{fig:meshes}所示, 其中网格\texttt{B}和网格\texttt{H}的网格数据取自\parencite{FVCA6},
而Kershaw网格\texttt{D}和随机扰动网格\texttt{R}则是通过特定策略从均匀正交网格移动每个节点生成的.
三维Kershaw网格的坐标变换策略在\parencite{Morel2001}的第5节中有详细描述.
在每个细网格层上, 我们将Kershaw网格\texttt{D}的扰动因子设为$0.2$.
我们通过以下变换将单位立方体$[0,1]^{3}$中的网格步长为$h$的均匀网格映射为随机扰动网格:
\begin{equation}
  x:=x+\epsilon\xi_{x}h
  ,\quad
  y:=y+\epsilon\xi_{y}h
  ,\quad
  z:=z+\epsilon\xi_{z}h
  ,
\end{equation}
其中$\xi_{x}$, $\xi_{y}$与$\xi_{z}$是区间$[0,1)$上服从均匀分布的随机数,
$\epsilon\in[0,0.5]$表示扰动幅度, 也称之为扰动因子.
注意到在$x=0$和$x=1$的边界面上$\xi_{x}$应当设置为0, 同样的设置也应用于$y$和$z$方向.
随机扰动网格的内表面可能不是平面. 网格的下标表示相应的网格层级.
\texttt{R}($\epsilon$)表示扰动因子为$\epsilon$的随机扰动网格.
所有测试算例均有解析的扩散张量和解析解. 源项和边界数据可据此计算得出. 所有测试仅考虑Dirichlet边界条件.
我们通过BICGSTAB求解线性系统, 容差为1.0E-15.
\begin{figure}[!htbp]
  \centering
  \def\mpgw{0.40\textwidth}
  \begin{minipage}[b]{\mpgw}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../img/mesh_B2.eps}
      \\
      (a) 网格\MKlvl{B}{2}
  \end{minipage}
  ~
  \begin{minipage}[b]{\mpgw}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../img/mesh_D1_0_8.eps}
      \\
      (b) 网格\MKlvl{D}{1}
  \end{minipage}
  \\
  ~
  \begin{minipage}[b]{\mpgw}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../img/mesh_H3.eps}
      \\
      (c) 网格\MKlvl{H}{3}
  \end{minipage}
  ~
  \begin{minipage}[b]{\mpgw}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../img/mesh_R2_0_02.eps}
      \\
      (d) 网格\MKlvl{R}{2}(0.2)
  \end{minipage}
  \caption{多面体网格示意图.}
  \label{fig:meshes}
\end{figure}

\section{线性精确验证}
\label{sec:testlpchk}

我们将文献\parencite{FVCA5}中的算例6扩展为三维算例, 这个问题的三维扩展情形也在文献\parencite{Ricardo2021}中进行了测试.
计算区域$\Omega=[0,1]^{3}$, 被分为三个子区域:
\begin{align*}
& \Omega _{1}=\left \{(x, y, z) \in \Omega \mid \phi _{1}(x, y, z)<0
\right \},
\\
& \Omega _{2}=\left \{(x, y, z) \in \Omega \mid \phi _{1}(x, y, z)>0,
\quad \phi _{2}(x, y, z)<0\right \},
\\
& \Omega _{3}=\left \{(x, y, z) \in \Omega \mid \phi _{2}(x,
y, z)>0\right \},
\end{align*}
其中$\phi _{1}(x,y,z) = y-\delta (x-0.5)-0.475$, 并且$\phi _{2}(x,y,z) = \phi _{1}(x,y,z)-0.05$.
这里我们取$\delta=0.2$.
解析解和扩散系数为
\begin{equation*}
  u(x,y,z) = -x - \delta y
\end{equation*}
以及
\begin{equation*}
  \Lambda = 
  \begin{pmatrix}
      \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
      \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
      0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
      \alpha & 0 & 0 \\
      0 & \beta & 0 \\
      0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
      \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\
      -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
      0 & 0 & 1
  \end{pmatrix},
\end{equation*}
其中$\theta=\arctan(\delta)$, 这里$\alpha$和$\beta$取为
\begin{equation*}
  \begin{pmatrix}
      \alpha \\ \beta
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
      100 \\ 10
  \end{pmatrix}
  \text{ 在 }
  \Omega_{2}
  ,\quad
  \begin{pmatrix}
      \alpha \\ \beta
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
      1 \\ 0.1
  \end{pmatrix}
  \text{ 在 }
  \Omega_{1}
  \cup
  \Omega_{3}.
\end{equation*}

图\ref{fig:meshlpchk}展示了本次测试所用的网格.
\begin{figure}[!htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{../img/mesh_TD1.eps}
  \caption{与平面$\phi_{1}=0$和$\phi_{2} = 0$排列一致的四面体网格.}
  \label{fig:meshlpchk}
\end{figure}
测试结果见表\ref{tab:rstlpchk}, 从中我们可以发现, 对于此次测试, 我们的算法获得了机器精度的精确解.
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\itpt}[1]{\multicolumn{3}{c}{#1}}
  \newcommand{\itnvi}[1]{\itpt{eLSW(#1)}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:testlpchk}的数值结果.}\label{tab:rstlpchk}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
           & \itnvi{d} & \itnvi{b}                                                  \\
    \cline{2-4}\cline{5-7}
    \texttt{nu} & \texttt{umin}  & \texttt{umax}   & $E_{u}$   & \texttt{umin} & \texttt{umax}   & $E_{u}$   \\
    \midrule
    2449   & -1.147    & -5.297E-02 & 1.529E-15 & -1.147   & -5.297E-02 & 1.763E-15 \\
    60070  & -1.174    & -2.575E-02 & 2.057E-14 & -1.174   & -2.575E-02 & 2.548E-14 \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}


\section{弱各向异性}
\label{sec:testmild}

接下来, 我们考虑一个弱各向异性问题, 该问题在\parencite{FVCA6}中给出.
扩散张量为
\begin{equation*}
  \Lambda=
  \begin{pmatrix}
      1   & 0.5 & 0   \\
      0.5 & 1   & 0.5 \\
      0   & 0.5 & 1
  \end{pmatrix} ,
\end{equation*}
解析解为
\begin{equation*}
  u(x, y, z)
  =1+\sin (\pi x) \sin \left(\pi\left(y+\frac{1}{2}\right)\right) \sin \left(\pi\left(z+\frac{1}{3}\right)\right).
\end{equation*}

网格\texttt{B}, \texttt{D}, \texttt{H}以及\texttt{R}(0.2)的测试结果在表\ref{tab:mildmeshB}-表\ref{tab:mildmeshR2}中给出.
随机扰动网格\texttt{R}(0.3)与\texttt{R}(0.4)的测试结果在图\ref{fig:mildrandomresults}中用双对数坐标给出.
正如\ref{ch2:sec:vtxintrp}节的论述, 这个算例的扩散系数是常数, 扩展的最小二乘插值算法退化为经典的最小二乘插值算法,
从数值结果也可以看出, eLSW(d)与eLSW(b)以及LSW给出相同的数值解.
那么对于eLSW(b)和LSW, 我们仅给出CPU时间.
从这些结果中, 我们可以发现菱形格式在网格\texttt{B}, \texttt{H}以及\texttt{R}达到最优的精度.
对于Kershaw网格, 随着网格细化, 收敛率在增加, 在Kershaw网格的第6级时接近最优收敛阶.
对于Kershaw网格, 从第2级开始, 线性迭代解法器无法求解搭配LPEW3的菱形格式产生的线性系统, 我们在表格中用$\ast $代替,
那么搭配LPEW3的菱形格式在Kershaw网格剩余层级的测试被取消.
我们发现搭配LPEW3的菱形格式在随机扰动网格\texttt{R}(0.3)和\texttt{R}(0.4)表现不佳.
经典的多点流格式MPFA-O在这个算例中获得最佳的结果.
此外, eLSW(d), eLSW(b)与LSW具有相当的计算效率,
额外增加的搜索所占的时间相对于整体计算的占比不到百分之二,
这可以从本次测试的CPU时间中看出.


% tet
{
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRc}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRc{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDew}{\MRc{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRc{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:testmild}: 四面体网格\texttt{B}上使用eLSW(b), eLSW(d), LSW, LPEW3的菱形格式以及MPFA-O计算结果.}\label{tab:mildmeshB}
  \centering\zihao{-5}
  \begin{tabular}{cccccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 44       & 215      & 2003     & 3898     & 7711     & 15266    & 30480    & 61052
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 2.59E-01 & 1.08E-01 & 2.63E-02 & 1.66E-02 & 1.07E-02 & 6.86E-03 & 4.25E-03 & 2.70E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.66     & 1.90     & 2.09     & 1.91     & 1.97     & 2.08     & 1.97
    \\
              & $E_{q}$ & 8.80E-01 & 4.39E-01 & 1.05E-01 & 7.55E-02 & 5.28E-02 & 3.95E-02 & 2.90E-02 & 2.17E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.31     & 1.92     & 1.50     & 1.57     & 1.28     & 1.33     & 1.25
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.01     & 0.18     & 0.59     & 1.73     & 5.37     & 15.83    & 44.14
    \\
    \hline
    eLSW(b) & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.01     & 0.19     & 0.58     & 1.74     & 5.37     & 15.95    & 44.24
    \\
    \hline
    LSW   & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.01     & 0.18     & 0.57     & 1.71     & 5.35     & 15.80    & 43.88
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}   & $E_{u}$ & 2.59E-01 & 1.10E-01 & 2.72E-02 & 1.72E-02 & 1.11E-02 & 7.15E-03 & 4.43E-03 & 2.82E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.62     & 1.88     & 2.07     & 1.90     & 1.95     & 2.08     & 1.95
    \\
              & $E_{q}$ & 8.80E-01 & 4.32E-01 & 1.03E-01 & 7.36E-02 & 5.20E-02 & 3.92E-02 & 2.89E-02 & 2.16E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.35     & 1.93     & 1.50     & 1.52     & 1.25     & 1.33     & 1.25
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.09     & 0.13     & 0.27     & 0.74     & 2.08     & 6.02     & 16.96    & 46.81
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{MPFA-O} & $E_{u}$ & 6.27E-02 & 2.74E-02 & 5.68E-03 & 3.96E-03 & 2.38E-03 & 1.60E-03 & 9.68E-04 & 6.11E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.56     & 2.12     & 1.63     & 2.24     & 1.75     & 2.17     & 1.99
    \\
              & $E_{q}$ & 2.80E-01 & 1.56E-01 & 6.09E-02 & 4.86E-02 & 3.72E-02 & 2.96E-02 & 2.34E-02 & 1.84E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.11     & 1.26     & 1.01     & 1.17     & 1.01     & 1.02     & 1.03
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.04     & 0.25     & 0.68     & 1.91     & 5.25     & 14.66    & 39.30
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
}
% Kershaw
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRc}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRc{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDew}{\MRc{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRc{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:testmild}: Kershaw网格\texttt{D}上使用eLSW(b), eLSW(d), LSW, LPEW3的菱形格式以及MPFA-O计算结果.}\label{tab:mildmeshD}
  \begin{tabular}{cccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 512      & 4096     & 32768    & 262144   & 2097152  & 16777216
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 6.03E-02 & 3.08E-02 & 1.88E-02 & 8.68E-03 & 2.99E-03 & 8.45E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 0.97     & 0.71     & 1.11     & 1.54     & 1.82
    \\
              & $E_{q}$ & 6.54E-01 & 2.74E-01 & 1.31E-01 & 5.57E-02 & 1.92E-02 & 5.73E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.26     & 1.06     & 1.24     & 1.54     & 1.75
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.03     & 0.23     & 3.05     & 35.20    & 335.11   & 3267.10
    \\
    \hline
    eLSW(b) & \texttt{CPU}  & 0.03     & 0.22     & 3.08     & 34.85    & 335.30   & 3209.61
    \\
    \hline
    LSW   & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.20     & 2.83     & 33.24    & 321.15   & 3111.81
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}   & $E_{u}$ & 1.89E-01 & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & $R_{u}$ & --        & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & $E_{q}$ & 5.07E+00 & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & $R_{q}$ & --        & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.056    & $\ast $   &          &          &          &
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{MPFA-O} & $E_{u}$ & 6.24E-02 & 2.53E-02 & 7.49E-03 & 1.91E-03 & 4.78E-04 & 1.19E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.30     & 1.76     & 1.97     & 2.00     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 3.16E-01 & 1.47E-01 & 4.99E-02 & 1.34E-02 & 3.43E-03 & 8.65E-04
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.10     & 1.56     & 1.89     & 1.97     & 1.99
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.04     & 0.34     & 4.12     & 43.83    & 395.21   & 3877.67
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% Locally refined
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRc}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRc{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDew}{\MRc{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRc{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:testmild}: 非匹配网格\texttt{H}上使用eLSW(b), eLSW(d)以及LSW的菱形格式计算结果.}\label{tab:mildmeshH}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 22       & 176      & 1408     & 11264    & 90112
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 2.03E-01 & 7.14E-02 & 1.99E-02 & 5.16E-03 & 1.30E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.51     & 1.84     & 1.95     & 1.99
    \\
              & $E_{q}$ & 6.62E-01 & 2.09E-01 & 6.15E-02 & 1.82E-02 & 5.65E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.66     & 1.76     & 1.76     & 1.69
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.02     & 0.08     & 1.25     & 36.89
    \\
    \hline
    eLSW(b) & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.02     & 0.08     & 1.52     & 36.91
    \\
    \hline
    LSW   & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.00     & 0.06     & 1.16     & 36.21
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% random 0.2
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRc}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRc{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDew}{\MRc{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRc{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:testmild}: 随机扰动网格\texttt{R}(0.2)上的计算结果.}\label{tab:mildmeshR2}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 64       & 512      & 4096     & 32768    & 262144
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 8.96E-02 & 2.57E-02 & 6.64E-03 & 1.67E-03 & 4.18E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.80     & 1.95     & 1.99     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 2.83E-01 & 7.87E-02 & 2.33E-02 & 7.99E-03 & 3.18E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.85     & 1.76     & 1.55     & 1.33
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.20     & 3.45     & 37.64
    \\
    \hline
    eLSW(b) & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.22     & 3.19     & 37.40
    \\
    \hline
    LSW   & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.02     & 0.19     & 2.83     & 35.34
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}   & $E_{u}$ & 9.20E-02 & 2.63E-02 & 6.79E-03 & 1.71E-03 & 4.28E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.81     & 1.95     & 1.99     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 2.70E-01 & 7.44E-02 & 2.23E-02 & 7.82E-03 & 3.14E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.86     & 1.74     & 1.51     & 1.31
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.05     & 0.49     & 5.46     & 56.46
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{MPFA-O} & $E_{u}$ & 3.53E-02 & 8.99E-03 & 2.22E-03 & 5.63E-04 & 1.41E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.97     & 2.02     & 1.98     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 7.52E-02 & 2.74E-02 & 1.12E-02 & 5.19E-03 & 2.54E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.45     & 1.30     & 1.11     & 1.03
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.05     & 0.36     & 3.57     & 38.50
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
\begin{figure}[!htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.75\textwidth]{../img/ds3delsmildrandom.eps}
  \caption{算例\ref{sec:testmild}: 随机扰动网格\texttt{R}(0.3)与\texttt{R}(0.4)的计算结果.}
  \label{fig:mildrandomresults}
\end{figure}


\section{间断系数问题}
\label{sec:discnttest}
我们将展示菱形格式在具有不连续扩散张量的问题上的表现. 此测试源自\parencite{Gao2011}, 并且也已被\parencite{Xie2021}测试过.
扩散系数和解析解的选择如下：
\begin{equation*}
  \Lambda= \begin{cases}\left(\begin{array}{lll}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 1
    \end{array}\right), & x \leq 0.5, \\
             \left(\begin{array}{lll}
      10 & 3 & 0 \\
      3  & 1 & 0 \\
      0  & 0 & 1
    \end{array}\right), & x>0.5,\end{cases}
\end{equation*}
以及
\begin{equation*}
  u(x, y, z)=
  \begin{cases}
    -2 y^{2}+4 x y+6 x+2 y+z+1,         & x \leq 0.5,
    \\
    -2 y^{2}+1.6 x y-0.6 x+3.2 y+z+4.3, & x>0.5.
  \end{cases}
\end{equation*}
注意到间断面处的网格顶点必须与平面$x=0.5$排列一致, 因此我们对于随机扰动网格取$\xi_x=0$当$x=0.5$,
并且我们对于Kershaw网格交换$x$和$y$坐标使得间断面与网格面重合.
在表\ref{tab:discntmildmeshD}-表\ref{tab:discntmildmeshR2}中, 我们展示网格\texttt{D}, \texttt{H}以及\texttt{R}(0.2)的结果.
图\ref{fig:discntmildrandommesh}展示扰动因子为$0.3$和$0.4$的随机扰动网格的测试结果.
这个算例在Kershaw网格上的计算是具有挑战性的, 随着网格加密, 使用eLSW(b)和eLSW(d)插值算法的菱形格式收敛率为$1.8$.
搭配LPEW3的菱形格式在Kershaw网格的第2级网格上计算失败.
对于Kershaw网格和随机扰动网格\texttt{R}(0.2), 经典的多点流格式MPFA-O表现最佳.
在随机扰动网格\texttt{R}(0.3)和\texttt{R}(0.4)上, 搭配LPEW3的菱形格式和MPFA-O格式都表现较差.
搭配经典最小二乘插值算法LSW的菱形格式在这个算例上达不到最优收敛阶,
因为这个算例的扩散系数有间断, 解析解的梯度有间断, 而LSW算法是在解析解光滑的情形下推导出来的,
当解析解不光滑, LSW就算法达不到预期的精度.
在这个算例的所有网格中, eLSW(b)和eLSW(d)的表现均优于LSW.
eLSW(b)与eLSW(d)有几乎最优的收敛率, 而且相比于LSW有几乎相同的CPU时间.
我们还注意到, 在这个算例中, eLSW(b)与eLSW(d)在所有网格上计算结果相同, 这也验证了定理\ref{ch2:thm:pfdogdsafhqosx}.

% Kershaw
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRd}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRd{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDVILS}{\MRd{LSW}}
  \newcommand{\TDew}{\MRd{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRd{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:discnttest}: Kershaw网格\texttt{D}上的计算结果.}\label{tab:discntmildmeshD}
  \begin{tabular}{cccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 512      & 4096     & 32768    & 262144   & 2097152  & 16777216
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 1.16E-02 & 3.88E-03 & 1.87E-03 & 8.10E-04 & 2.69E-04 & 7.64E-05
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.58     & 1.05     & 1.21     & 1.59     & 1.82
    \\
              & $E_{q}$ & 3.49E-01 & 1.54E-01 & 6.74E-02 & 2.64E-02 & 8.74E-03 & 2.66E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.18     & 1.19     & 1.35     & 1.59     & 1.72
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.22     & 3.14     & 37.93    & 420.65   & 15010.85
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{eLSW(b)} & $E_{u}$ & 1.16E-02 & 3.88E-03 & 1.87E-03 & 8.10E-04 & 2.69E-04 & 7.64E-05
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.58     & 1.05     & 1.21     & 1.59     & 1.82
    \\
              & $E_{q}$ & 3.49E-01 & 1.54E-01 & 6.74E-02 & 2.64E-02 & 8.74E-03 & 2.66E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.18     & 1.19     & 1.35     & 1.59     & 1.72
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.22     & 3.17     & 38.02    & 430.91   & 15398.36
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LSW}& $E_{u}$ & 1.59E-02 & 8.24E-03 & 4.77E-03 & 2.50E-03 & 1.22E-03 & 5.90E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 0.95     & 0.79     & 0.93     & 1.04     & 1.05
    \\
              & $E_{q}$ & 5.72E-01 & 3.22E-01 & 2.14E-01 & 1.45E-01 & 9.96E-02 & 6.96E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.83     & 0.59     & 0.56     & 0.54     & 0.52
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.03     & 0.20     & 2.92     & 36.01    & 406.09   & 12571.71
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}& $E_{u}$ & 3.87E-02 & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & $R_{u}$ & 0.00     & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & $E_{q}$ & 3.72E+00 & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & $R_{q}$ & 0.00     & $\ast $   &          &          &          &
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.06     & $\ast $   &          &          &          &
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{MPFA-O}& $E_{u}$ & 7.40E-03 & 2.23E-03 & 5.70E-04 & 1.42E-04 & 3.56E-05 & 8.90E-06
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.73     & 1.97     & 2.00     & 2.00     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 6.66E-02 & 2.24E-02 & 6.37E-03 & 1.73E-03 & 4.63E-04 & 1.23E-04
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.57     & 1.82     & 1.88     & 1.90     & 1.92
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.04     & 0.33     & 4.02     & 44.41    & 458.71   & 5035.69
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% Locally refined
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRd}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRd{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDVILS}{\MRd{LSW}}
  \newcommand{\TDew}{\MRd{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRd{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:discnttest}: 非匹配网格\texttt{H}上的计算结果.}\label{tab:discntmildmeshH}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 22       & 176      & 1408     & 11264    & 90112
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 3.98E-02 & 9.46E-03 & 2.34E-03 & 5.87E-04 & 1.47E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.07     & 2.01     & 2.00     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 6.32E-02 & 2.81E-02 & 1.09E-02 & 4.25E-03 & 1.62E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.17     & 1.37     & 1.35     & 1.39
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.00     & 0.06     & 1.50     & 42.79
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{eLSW(b)} & $E_{u}$ & 3.98E-02 & 9.46E-03 & 2.34E-03 & 5.87E-04 & 1.47E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.07     & 2.01     & 2.00     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 6.32E-02 & 2.81E-02 & 1.09E-02 & 4.25E-03 & 1.62E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.17     & 1.37     & 1.35     & 1.39
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.08     & 1.31     & 42.94
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LSW}& $E_{u}$ & 3.99E-02 & 1.18E-02 & 4.48E-03 & 1.67E-03 & 6.55E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.75     & 1.40     & 1.42     & 1.35
    \\
              & $E_{q}$ & 3.29E-01 & 2.79E-01 & 2.07E-01 & 1.50E-01 & 1.07E-01
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.24     & 0.43     & 0.47     & 0.48
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.00     & 0.06     & 1.53     & 41.79
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% random 0.2
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRd}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRd{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDVILS}{\MRd{LSW}}
  \newcommand{\TDew}{\MRd{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRd{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:discnttest}: 随机扰动网格\texttt{R}(0.2)上的计算结果.}\label{tab:discntmildmeshR2}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 64       & 512      & 4096     & 32768    & 262144
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 1.18E-02 & 2.94E-03 & 7.49E-04 & 1.86E-04 & 4.62E-05
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.00     & 1.97     & 2.01     & 2.01
    \\
              & $E_{q}$ & 2.92E-02 & 1.19E-02 & 4.84E-03 & 1.85E-03 & 7.51E-04
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.30     & 1.29     & 1.38     & 1.30
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.22     & 3.09     & 40.05
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{eLSW(b)} & $E_{u}$ & 1.18E-02 & 2.94E-03 & 7.49E-04 & 1.86E-04 & 4.62E-05
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.00     & 1.97     & 2.01     & 2.01
    \\
              & $E_{q}$ & 2.92E-02 & 1.19E-02 & 4.84E-03 & 1.85E-03 & 7.51E-04
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.30     & 1.29     & 1.38     & 1.30
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.46     & 0.20     & 3.12     & 40.20
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LSW}& $E_{u}$ & 1.61E-02 & 6.38E-03 & 2.86E-03 & 1.04E-03 & 4.01E-04
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.33     & 1.16     & 1.46     & 1.37
    \\
              & $E_{q}$ & 2.95E-01 & 2.39E-01 & 1.79E-01 & 1.25E-01 & 9.36E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.31     & 0.41     & 0.51     & 0.42
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.02     & 0.17     & 2.89     & 38.32
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}& $E_{u}$ & 1.18E-02 & 2.95E-03 & 7.50E-04 & 1.86E-04 & 4.62E-05
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.00     & 1.98     & 2.01     & 2.01
    \\
              & $E_{q}$ & 3.59E-02 & 1.43E-02 & 5.81E-03 & 2.24E-03 & 8.92E-04
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.33     & 1.30     & 1.38     & 1.33
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.05     & 0.51     & 5.61     & 60.99
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{MPFA-O}& $E_{u}$ & 2.07E-03 & 5.36E-04 & 1.46E-04 & 3.81E-05 & 9.68E-06
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.95     & 1.88     & 1.93     & 1.98
    \\
              & $E_{q}$ & 1.87E-02 & 7.60E-03 & 2.74E-03 & 9.82E-04 & 3.90E-04
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.30     & 1.47     & 1.48     & 1.33
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.04     & 0.33     & 4.08     & 50.32
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
\begin{figure}[!htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.65\textwidth]{../img/ds3delsdiscntmildrandom.eps}
  \caption{算例\ref{sec:discnttest}: 随机扰动网格上使用eLSW(b), eLSW(d)和LSW的菱形格式计算结果.}
  \label{fig:discntmildrandommesh}
\end{figure}



\section{强各向异性且有交叉间断面问题}
\label{sec:crosstest}
我们考虑具有交叉间断面的强各向异性扩散问题. 该问题改编自\parencite{Edwards2011}, 并在\parencite{Xie2021}中进行了研究. 
计算区域$\Omega=[0,1]^{3}$, 被分裂为四个子区域:
\begin{align*}
\Omega _{1} & = \{(x,y,z)\in \Omega ,\quad x\leq 0.5, z\leq 0.5\} ,
\\
\Omega _{2} & = \{(x,y,z)\in \Omega ,\quad x> 0.5, z\leq 0.5\} ,
\\
\Omega _{3} & = \{(x,y,z)\in \Omega ,\quad x> 0.5, z>0.5\} ,
\\
\Omega _{4} & = \{(x,y,z)\in \Omega ,\quad x\leq 0.5, z>0.5\} .
\end{align*}
四个子区域的扩散系数和解析解为
\begin{equation*}
\Lambda = \left (\begin{array}{ccc}
2464.36 \alpha _{i} & 0 & 1148.68\beta _{i}
\\
0 & 536.64 & 0
\\
1148.68 \beta _{i} & 0 & 536.64\alpha _{i}
\end{array}
\right )
    % ,\quad
    % \text{in } \Omega_{i}
\end{equation*}
以及
\begin{equation*}
u(x,y,z) = \sin (2\pi x) \sin (2\pi y) \sin (2\pi z)/\alpha _{i}
    % ,\quad
    % \text{in } \Omega_{i}
\end{equation*}
其中$\alpha_{i}$和$\beta_{i}$由下表给出
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
        \hline
        $i$          & 1  & 2  & 3  & 4
        \\ \hline
        $\alpha_{i}$ & 10 & 1  & 10 & 1
        \\ \hline
        $\beta_{i}$  & 1  & -1 & 1  & -1
        \\ \hline
    \end{tabular}
\end{center}
对于这个算例使用的随机扰动网格, 我们取$\xi_{x}(x=0.5)=0$以及$\xi_{z}(z=0.5)=0$.

网格\texttt{H}和网格\texttt{R}(0.2)的测试结果见\ref{tab:crossmeshH}和表\ref{tab:crossmeshR2}.
在其他随机扰动网格上的表现如图\ref{fig:crossrandommesh}所示.
从这些结果中, 我们可以观察到eLSW(d)的性能与eLSW(b)相似, 并且都优于LSW.
扩展最小二乘插值算法eLSW在此测试中都获得了二阶精度的数值解.
搭配LPEW3的菱形格式和MPFA-O格式在这个算例表现较差.
% Locally refined
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRd}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRd{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDVILS}{\MRd{LSW}}
  \newcommand{\TDew}{\MRd{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRd{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:crosstest}: 非匹配网格\texttt{H}上的计算结果.}\label{tab:crossmeshH}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 22       & 176      & 1408     & 11264    & 90112
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 1.43E+00 & 3.88E-01 & 7.08E-02 & 1.59E-02 & 3.97E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.88     & 2.45     & 2.15     & 2.00
    \\
              & $E_{q}$ & 4.87E-01 & 3.17E-01 & 1.16E-01 & 3.48E-02 & 9.97E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.62     & 1.46     & 1.73     & 1.80
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.27     & 0.06     & 1.45     & 41.79
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{eLSW(b)} & $E_{u}$ & 1.45E+00 & 3.88E-01 & 7.14E-02 & 1.60E-02 & 3.98E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.90     & 2.44     & 2.16     & 2.01
    \\
              & $E_{q}$ & 4.91E-01 & 3.16E-01 & 1.15E-01 & 3.48E-02 & 9.96E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.63     & 1.46     & 1.73     & 1.80
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.00     & 0.06     & 1.74     & 41.85
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LSW}& $E_{u}$ & 1.48E+00 & 4.26E-01 & 1.03E-01 & 3.46E-02 & 1.33E-02
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.80     & 2.05     & 1.58     & 1.38
    \\
              & $E_{q}$ & 4.79E-01 & 3.31E-01 & 1.55E-01 & 7.58E-02 & 4.45E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.53     & 1.09     & 1.03     & 0.77
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.00     & 0.06     & 1.20     & 40.91
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% random 0.2
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRd}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRd{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDVILS}{\MRd{LSW}}
  \newcommand{\TDew}{\MRd{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRd{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:crosstest}: 随机扰动网格\texttt{R}(0.2)上的计算结果.}\label{tab:crossmeshR2}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 64       & 512      & 4096     & 32768    & 262144
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 4.32E-01 & 8.78E-02 & 2.04E-02 & 5.11E-03 & 1.29E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.30     & 2.11     & 1.99     & 1.99
    \\
              & $E_{q}$ & 3.46E-01 & 1.27E-01 & 4.07E-02 & 1.30E-02 & 4.78E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.44     & 1.65     & 1.65     & 1.45
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.02     & 0.02     & 0.20     & 3.05     & 40.83
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{eLSW(b)} & $E_{u}$ & 4.32E-01 & 8.82E-02 & 2.04E-02 & 5.12E-03 & 1.29E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.29     & 2.11     & 2.00     & 1.99
    \\
              & $E_{q}$ & 3.47E-01 & 1.28E-01 & 4.08E-02 & 1.30E-02 & 4.78E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.44     & 1.64     & 1.65     & 1.45
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.03     & 0.20     & 2.94     & 41.01
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LSW}& $E_{u}$ & 4.73E-01 & 1.19E-01 & 4.90E-02 & 1.86E-02 & 7.41E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.99     & 1.28     & 1.40     & 1.33
    \\
              & $E_{q}$ & 3.77E-01 & 2.14E-01 & 1.60E-01 & 1.18E-01 & 8.16E-02
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.81     & 0.43     & 0.44     & 0.53
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.19     & 2.70     & 39.03
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}& $E_{u}$ & 4.51E-01 & 9.51E-02 & 2.31E-02 & 6.12E-03 & 1.59E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.24     & 2.04     & 1.91     & 1.95
    \\
              & $E_{q}$ & 3.65E-01 & 1.24E-01 & 3.67E-02 & 1.23E-02 & 4.92E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.56     & 1.76     & 1.57     & 1.33
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.05     & 0.48     & 5.42     & 60.65
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{MPFA-O}& $E_{u}$ & 9.12E-01 & 1.95E-01 & 8.53E-02 & 1.66E-01 & $\ast $
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 2.23     & 1.19     & -0.96    & $\ast $
    \\
              & $E_{q}$ & 2.64E-01 & 1.34E-01 & 8.43E-02 & 2.55E-01 & $\ast $
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 0.98     & 0.67     & -1.60    & $\ast $
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.04     & 0.33     & 4.69     & $\ast $
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
%
\begin{figure}[!htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.65\textwidth]{../img/ds3delscrossrandom.eps}
  \caption{算例\ref{sec:crosstest}: 随机扰动网格上的计算结果.}
  \label{fig:crossrandommesh}
\end{figure}



\section{变系数的强各向异性问题}
\label{sec:stronghete}

我们研究由\parencite{Edwards2011}提出的一个变系数的强各向异性的扩散问题. 扩散张量为
\begin{equation*}
\Lambda (x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\left (
\begin{array}{ccc}
\varepsilon _{x} x^{2}+\varepsilon _{y} y^{2} & \left (\varepsilon _{x}-
\varepsilon _{y}\right ) x y & 0
\\
\left (\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}\right ) x y & \varepsilon _{y}
x^{2}+\varepsilon _{x} y^{2} & 0
\\
0 & 0 & \varepsilon _{z}(z+1)\left (x^{2}+y^{2}\right )
\end{array}
\right ),
\end{equation*}
其中$\varepsilon_{x} = 1, \varepsilon_{y} = 10^{-6}$并且$\varepsilon_{z} = 10$.
解析解为
\begin{equation*}
  u(x,y,z) =
  \sin(2\pi x)
  \sin(2\pi y)
  \sin(2\pi z). 
\end{equation*}

这里, 在顶点插值算法中所使用的扩散张量取为
\begin{equation*}
  \Lambda_{i} = \lim_{\bm{x}\to\bm{x}_{\nu},\bm{x}\in K_{i}} \Lambda(\bm{x}),
\end{equation*}
这也是文献\parencite{Miao2022}建议对于变系数扩散问题的处理方式.
在这种选择下, 对于这个变系数问题, eLSW(d)和eLSW(b)与LSW等价.
我们首先给出随机扰动网格\texttt{R}(0.2)上的结果, 见表\ref{tab:stronghetemeshR2}.
从表中可以看出, 两种扩展最小二乘插值算法的CPU时间仅存在细微差异.
我们发现MPFA-O格式不收敛对于这种强各向异性问题.
因此, 对于其他情况, 我们仅展示eLSW(d)和LPEW3的结果. 
随着网格细化, 我们可以发现搭配扩展最小二乘顶点插值算法eLSW的菱形格式都达到了理想的精度.

% random 0.2
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRd}[1]{\multirow{5}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRd{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDVILS}{\MRd{LSW}}
  \newcommand{\TDew}{\MRd{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRd{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:stronghete}: 随机扰动网格\texttt{R}(0.2)上的计算结果.}\label{tab:stronghetemeshR2}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &         & 64       & 512      & 4096     & 32768    & 262144
    \\
    \midrule
    \multirow{5}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$ & 2.89E-01 & 7.84E-02 & 1.92E-02 & 5.05E-03 & 1.40E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.88     & 2.03     & 1.93     & 1.86
    \\
              & $E_{q}$ & 1.95E-01 & 6.82E-02 & 2.08E-02 & 7.18E-03 & 2.97E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.51     & 1.72     & 1.53     & 1.27
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.21     & 2.16     & 20.76
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{eLSW(b)} & $E_{u}$ & 2.89E-01 & 7.84E-02 & 1.92E-02 & 5.05E-03 & 1.40E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.88     & 2.03     & 1.93     & 1.86
    \\
              & $E_{q}$ & 1.95E-01 & 6.82E-02 & 2.08E-02 & 7.18E-03 & 2.97E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.51     & 1.72     & 1.53     & 1.27
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.20     & 2.17     & 20.84
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LSW}& $E_{u}$ & 2.89E-01 & 7.84E-02 & 1.92E-02 & 5.05E-03 & 1.40E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.88     & 2.03     & 1.93     & 1.86
    \\
              & $E_{q}$ & 1.95E-01 & 6.82E-02 & 2.08E-02 & 7.18E-03 & 2.97E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.51     & 1.72     & 1.53     & 1.27
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.00     & 0.02     & 0.19     & 1.92     & 18.82
    \\
    \hline
    \multirow{5}{*}{LPEW3}& $E_{u}$ & 2.91E-01 & 7.82E-02 & 1.98E-02 & 5.23E-03 & 1.44E-03
    \\
              & $R_{u}$ & --        & 1.90     & 1.98     & 1.92     & 1.86
    \\
              & $E_{q}$ & 1.95E-01 & 6.79E-02 & 2.10E-02 & 7.35E-03 & 3.08E-03
    \\
              & $R_{q}$ & --        & 1.52     & 1.69     & 1.51     & 1.26
    \\
              & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.05     & 0.48     & 4.64     & 41.71
    \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
\begin{figure}[!htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.65\textwidth]{../img/ds3delsstronghete.eps}
  \caption{算例\ref{sec:stronghete}: 搭配eLSW(d)和LPEW3的菱形格式计算结果.}
  \label{fig:strongheteothers}
\end{figure}


\newcommand{\NVW}{\texttt{vinw}}
\section{测试离散极值原理}
\label{sec:testdmp}

与局部守恒性同样重要,
离散极值原理(DMP)也是扩散方程数值离散时必须考虑的因素.
我们测试文献\parencite{FVCA6}的第3个算例展示搭配扩展最小二乘插值算法的菱形格式与DMP相关的性质.
扩散系数和解析解的选择如下
\begin{equation*}
\Lambda =
\begin{pmatrix}
1 &0 &0
\\
0 &1 &0
\\
0 &0 &10^{3}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
以及
\begin{equation*}
u(x, y, z)= \sin (2\pi x)\sin (2\pi y)\sin (2\pi z) .
\end{equation*}
在这个算例中, 我们考虑Dirichlet边界条件.
我们统计出顶点插值权重为负的百分比, 记为\texttt{vinw}.
我们分别在四面体网格\texttt{B}以及Kershaw网格\texttt{D}测试,
计算结果见表\ref{tab:dmpmeshB}以及表\ref{tab:dmpmeshD},
从这些结果可以看出, 对于这个问题, 搭配eLSW(d)的菱形格式不满足极值原理.
% tet
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRc}[1]{\multirow{8}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRc{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDew}{\MRc{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRc{MPFA-O}}
  \centering\zihao{-5}
  \caption{算例\ref{sec:testdmp}: 四面体网格\texttt{B}上的计算结果.}\label{tab:dmpmeshB}
  \begin{tabular}{cccccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &          & 44       & 215      & 2003     & 3898     & 7711     & 15266    & 30480    & 61052
    \\
    \midrule
\multirow{8}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$       & 6.36E-01 & 1.05E+00 & 2.30E-01 & 1.52E-01 & 9.70E-02 & 6.06E-02 & 3.83E-02 & 2.37E-02 \\
                         & $R_{u}$       & --        & -0.95    & 2.04     & 1.85     & 1.98     & 2.07     & 1.99     & 2.07     \\
                         & $E_{q}$       & 2.21E-01 & 5.58E-01 & 1.68E-01 & 1.23E-01 & 9.42E-02 & 7.37E-02 & 5.78E-02 & 4.49E-02 \\
                         & $R_{q}$       & --        & -1.75    & 1.62     & 1.40     & 1.17     & 1.08     & 1.06     & 1.09     \\
                         & \texttt{umin} & -1.316   & -1.657   & -1.185   & -1.084   & -1.064   & -1.070   & -1.025   & -1.019   \\
                         & \texttt{umax} & 1.296    & 1.303    & 1.096    & 1.118    & 1.067    & 1.048    & 1.021    & 1.021    \\
                         & \texttt{CPU}  & 0.01     & 0.01     & 0.18     & 0.61     & 1.99     & 6.50     & 20.59    & 60.12    \\
                         & \texttt{vinw} & 0.00\%   & 0.00\%   & 0.54\%   & 1.24\%   & 0.80\%   & 0.65\%   & 0.85\%   & 0.91\%   \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% kershaw
\begin{table}[!htpb]
  \newcommand{\MRc}[1]{\multirow{8}{*}{#1}}
  \newcommand{\TDnvi}[1]{\MRc{eLSW(#1)}}
  \newcommand{\TDew}{\MRc{LPEW3}}
  \newcommand{\TDmpfa}{\MRc{MPFA-O}}
  \centering
  \caption{算例\ref{sec:testdmp}: Kershaw网格\texttt{D}上的计算结果.}\label{tab:dmpmeshD}
  \begin{tabular}{ccccccc}
    \toprule
    \texttt{nu}    &          & 512      & 4096     & 32768    & 262144   & 2097152
    \\
    \midrule
\multirow{8}{*}{eLSW(d)} & $E_{u}$       & 2.82E-01 & 5.14E-02 & 1.33E-02 & 3.56E-03 & 9.70E-04 \\
                         & $R_{u}$       & --        & 2.46     & 1.95     & 1.90     & 1.88     \\
                         & $E_{q}$       & 1.37E-01 & 2.73E-02 & 6.90E-03 & 1.93E-03 & 5.86E-04 \\
                         & $R_{q}$       & --        & 2.33     & 1.98     & 1.84     & 1.72     \\
                         & \texttt{umin} & -1.125   & -1.055   & -1.009   & -1.003   & -1.002   \\
                         & \texttt{umax} & 1.125    & 1.055    & 1.009    & 1.003    & 1.002    \\
                         & \texttt{CPU}  & 0.03     & 0.18     & 1.57     & 13.99    & 121.59   \\
                         & \texttt{vinw} & 57.14\%  & 25.96\%  & 12.35\%  & 5.98\%   & 2.95\%   \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
% vim:ts=4:sw=4
